Упражнение 976 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 194

а) \( (a^2 + 2b)^4 = (a^2)^4 + 4\,(a^2)^3 \cdot (2b) + 6\,(a^2)^2 \cdot (2b)^2 + 4\,(a^2)\cdot (2b)^3 + (2b)^4=\)

\(= a^8+8\,a^6b+24\,a^4b^2+32\,a^2b^3+16\,b^4. \)

б) \( (a^3 - b)^4 = (a^3)^4 - 4\,(a^3)^3 \cdot b + 6\,(a^3)^2 \cdot b^2 - 4\,(a^3)\cdot b^3 + b^4= \)

\(= a^{12}-4\,a^9b+6\,a^6b^2-4\,a^3b^3+b^4. \)

Пояснения:

При записи формулы двучлена \(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Свойства степени:

\((ab)^n=a^nb^n;\)

\((a^m)^n=a^{mn}\).

\( 2\,(x + 2)(x - 2)=(x + 2)^2+(x - 2)^2-16. \)

\(2\bigl(x^2 - 4\bigr)= (x^2 + 4x + 4)+(x^2 - 4x + 4)-16\)

\(2x^2 - 8=x^2 + \cancel{4x} + 4+x^2 - \cancel{4x} + 4-16\)

\( 2x^2 - 8 = 2x^2 - 8\)

\( 2x^2 - 2x^2 = -8 + 8\)

\(0x = 0\) - верно при любом значении \(x\).

Ответ: при любом значении \(x\).

Пояснения:

Ниже приведены основные правила и приёмы, использованные при решении задачи:

1. Понимание фразы «меньше на 16» означает, что разность меньшего выражения и большего равна \(16\). То есть, если «выражение A меньше выражения B на 16», то \(A = B - 16\).

2. Формула произведения суммы и разности двух выражений:

\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. \)

3. Формулы квадрата двучлена:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

При выполнении преобразований получили, что уравнение верно при любом значении переменной \(x\). Значит, удвоенное произведение двучленов \(x + 2\) и \(x - 2\) меньше суммы их квадратов на 16 при любом значении переменной \(x\).