Упражнение 975 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 194

а) \(n = 7\)

\( (a + b)^7 = a^7 + 7\,a^6b + 21\,a^5b^2 + 35\,a^4b^3 + 35\,a^3b^4 + 21\,a^2b^5 + 7\,ab^6 + b^7. \)

б) \(n = 8\)

\( (a + b)^8 = a^8 + 8\,a^7b + 28\,a^6b^2 + 56\,a^5b^3 + 70\,a^4b^4 + 56\,a^3b^5 + 28\,a^2b^6 + 8\,ab^7 + b^8. \)

---

Пояснения:

При записи формулы двучлена \(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

а) \(\;(x - 5)^2 + 2x(x - 3) =\)

\(=x^2 - 10x + 25 + 2x^2 - 6x =\)

\(=3x^2 - 16x + 25.\)

б) \((y + 8)^2 - 4y(y - 2) = \)

\(=y^2 + 16y + 64 - 4y^2 + 8y =\)

\(=-3y^2 + 24y + 64.\)

в) \((a - 4)(a + 4) + (2a - 1)^2 =\)

\(=(a^2 - 16) + (4a^2 - 4a + 1) =\)

\(=a^2 - 16 + 4a^2 - 4a + 1 =\)

\(=5a^2 - 4a - 15.\)

г) \((b - 3)(b + 3) - (b + 2)^2 =\)

\(=(b^2 - 9) - (b^2 + 4b + 4) =\)

\(=\cancel{b^2} - 9 - \cancel{b^2} - 4b - 4 =\)

\(=-4b - 13.\)

д) \((2a - 5)^2 - (5a - 2)^2 =\)

\(=(4a^2 - 20a + 25) - (25a^2 - 20a + 4) =\)

\(=4a^2 - \cancel{20a} + 25 - 25a^2 + \cancel{20a} - 4 =\)

\(=-21a^2 + 21.\)

е) \((3b - 1)^2 + (1 - 3b)^2 =\)

\(=(9b^2 - 6b + 1) + (1 - 6b + 9b^2) =\)

\(=9b^2 - 6b + 1 + 1 - 6b + 9b^2 =\)

\(=18b^2 - 12b + 2.\)

ж) \((2x + 1)^2 - (x + 7)(x - 3) =\)

\(=(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 + 4x - 21) =\)

\(=4x^2 + \cancel{4x} + 1 - x^2 - \cancel{4x} + 21 =\)

\(=3x^2 + 22.\)

з) \((3y - 2)^2 - (y - 9)(9 - y) =\)

\(=(3y - 2)^2 + (y - 9)(y - 9) =\)

\(=(3y - 2)^2 + (y - 9)^2 =\)

\(=(9y^2 - 12y + 4) + \bigl(y^2 - 18y + 81\bigr) =\)

\(=9y^2 - 12y + 4 + y^2 - 18y + 81 =\)

\(=10y^2 - 30y + 85.\)

---

Пояснения:

Формулы и приёмы, использованные при преобразованиях:

1. Формула квадрата суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

2. Формула квадрата разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3. Формула произведения суммы и разности двух выражений:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2.\)

4. Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

5. Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).

6. Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

7. Сложение и вычитание многочленов: у вычитаемого многочлена при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные:

\(a-(b+c) = a-b-c\).

8. Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

Пояснения к каждому заданию:

а) \((x - 5)^2 + 2x(x - 3)\)

— Сначала применили формулу квадрата разности

\( (x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 =\)

\(=x^2 - 10x + 25.\)

— Затем раскрыли скобки во втором слагаемом:

\(2x(x - 3) = 2x^2 - 6x.\)

— После раскрытия получаем сумму одночленов:

\(x^2 - 10x + 25 + 2x^2 - 6x.\)

— Объединяем подобные члены:

\(x^2 + 2x^2 = 3x^2,\)

\(-10x - 6x = -16x.\)

— Итог: \(3x^2 - 16x + 25.\)

б) \((y + 8)^2 - 4y(y - 2)\)

— Сначала применили формулу квадрата суммы

\( (y + 8)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 8 + 8^2 =\)

\(=y^2 + 16y + 64.\)

— Затем раскрыли скобки:

\(4y(y - 2) = 4y^2 - 8y.\)

— Вычитаем второе произведение из квадрата суммы:

\(y^2 + 16y + 64 - (4y^2 - 8y).\)

— При вычитании меняем знак всех членов второго выражения: 

\(y^2 + 16y + 64 - 4y^2 + 8y.\)

— Объединяем подобные члены:

\(y^2 - 4y^2 = -3y^2,\)

\(16y + 8y = 24y\)

— Итог: \(-3y^2 + 24y + 64.\)

в) \((a - 4)(a + 4) + (2a - 1)^2\)

— Применяем формулу произведения суммы и разности двух выражений к первому произведению:

\((a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16.\)

— Применяем формулу квадрата разности ко второму:

\((2a - 1)^2 = 4a^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 =\)

\(=4a^2 - 4a + 1.\)

— Складываем результаты:

\(a^2 - 16 + 4a^2 - 4a + 1.\)

— Объединяем подобные члены:

\(a^2 + 4a^2 = 5a^2,\)

\(-16 + 1 = -15.\)

— Итог: \(5a^2 - 4a - 15.\)

г) \((b - 3)(b + 3) - (b + 2)^2\)

— Применяем формулу произведения суммы и разности двух выражений к первому произведению:

\((b - 3)(b + 3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9.\)

— Применяем формулу квадрата суммы:

\((b + 2)^2 = b^2 + 4b + 4.\)

— Вычитаем квадрат суммы:

\(b^2 - 9 - (b^2 + 4b + 4).\)

— При вычитании меняем знак всех членов второго выражения:

\(b^2 - 9 - b^2 - 4b - 4.\)

— Объединяем подобные члены:

\(b^2 - b^2 = 0,\)

\(-9 - 4 = -13.\)

— Итог: \(-4b - 13.\)

д) \((2a - 5)^2 - (5a - 2)^2\)

— Применяем формулу квадрата разности:

\((2a - 5)^2 = 4a^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 =\)

\(=4a^2 - 20a + 25.\)

— Применяем формулу квадрата разности ко второму двучлену:

\((5a - 2)^2 = 25a^2 - 2 \cdot 5a \cdot 2 + 2^2 =\)

\(=25a^2 - 20a + 4.\)

— Вычитаем второе из первого:

\(4a^2 - 20a + 25 - (25a^2 - 20a + 4).\)

— Меняем знак всех членов второго выражения:

\(4a^2 - 20a + 25 - 25a^2 + 20a - 4.\)

— Объединяем подобные члены:

\(4a^2 - 25a^2 = -21a^2,\)

\(-20a + 20a = 0,\)

\(25 - 4 = 21.\)

— Итог: \(-21a^2 + 21.\)

е) \((3b - 1)^2 + (1 - 3b)^2\)

— Сначала раскрываем первый квадрат разности:

\((3b - 1)^2 = 9b^2 - 6b + 1.\)

— Замечаем, что

\((1 - 3b)^2 = (-(3b - 1))^2 =\)

\(=(3b - 1)^2 = 9b^2 - 6b + 1.\)

— Складываем:

\(9b^2 - 6b + 1 + 9b^2 - 6b + 1.\)

— Объединяем:

\(9b^2 + 9b^2 = 18b^2,\)

\(-6b - 6b = -12b,\)

\(1 + 1 = 2.\)

— Итог: \(18b^2 - 12b + 2.\)

ж) \((2x + 1)^2 - (x + 7)(x - 3)\)

— Применяем формулу квадрата суммы:

\((2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1.\)

— Раскрываем произведение:

\((x + 7)(x - 3) = x^2 - 3x + 7x - 21 =\)

\(=x^2 + 4x - 21.\)

— Вычитаем второе выражение:

\(4x^2 + 4x + 1 - (x^2 + 4x - 21).\)

— Меняем знаки всех членов второго:

\(4x^2 + 4x + 1 - x^2 - 4x + 21.\)

— Объединяем:

\(4x^2 - x^2 = 3x^2,\)

\(4x - 4x = 0,\)

\(1 + 21 = 22.\)

— Итог: \(3x^2 + 22.\)

з) \((3y - 2)^2 - (y - 9)(9 - y)\)

— Сначала раскрываем квадрат разности:

\((3y - 2)^2 = 9y^2 - 12y + 4.\)

— Затем раскрываем или используем приём:

\((y - 9)(9 - y) = -(y - 9)^2 =\)

\(=-(y^2 - 18y + 81) = -y^2 + 18y - 81.\)

— Вычитаем второе:

\(9y^2 - 12y + 4 - (-y^2 + 18y - 81).\)

— Меняем знак каждого члена второго выражения:

\(9y^2 - 12y + 4 + y^2 - 18y + 81.\)

— Приводим подобные члены:

\(9y^2 + y^2 = 10y^2,\)

\(-12y - 18y = -30y,\)

\(4 + 81 = 85.\)

— Итог: \(10y^2 - 30y + 85.\)

Во всех заданиях последовательно применялись формулы квадрата суммы, квадрата разности и формула произведения суммы и разности двух выражений, а затем производилось объединение подобных одночленов.