Упражнение 973 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 194

\(n=6\):

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

\(n=7\):

1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Пояснения:

В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

а) \((a + 2)(a - 2) -a(a - 5) =\)

\( = \cancel{a^2} - 4 - \cancel{a^2} + 5a =\)

\( = 5a - 4. \)

б) \( (a - 3)(3 + a) + a(7 - a)=\)

\( = \cancel{a^2} - 9 + 7a - \cancel{a^2} =\)

\( = 7a - 9. \)

в) \( (b - 4)(b + 4) - (b - 3)(b + 5) =\)

\(= b^2 - 16 - b^2 + 5b - 3b - 15 =\)

\(=\cancel{b^2} - 16 - \cancel{b^2} - 5b + 3b + 15 =\)

\(= -2b - 1. \)

г) \( (b + 8)(b - 6) - (b - 7)(b + 7) =\)

\(= b^2 - 6b + 8b - 48 - (b^2 - 49)=\)

\(= \cancel{b^2} + 2b - 48 - \cancel{b^2} + 49 =\)

\(= 2b + 1. \)

д) \( (c - 1)(c + 1) + (c - 9)(c + 9) =\)

\( = c^2 - 1 + c^2 - 81 = 2c^2 - 82. \)

е) \( (5 + c)(c - 5) - (c - 10)(c + 10) =\)

\(= c^2 - 25 - (c^2 - 100) =\)

\( = \cancel{c^2} - 25 - \cancel{c^2} + 100 = 75.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).

2. \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

3. Вычитание многочленов: знаки вычитаемого многочлена при раскрытии скобок меняю на противоположные.

4. Подобные слагаемые:

\(ax + bx = (a + b)x\).

Пояснения к пункту а)

Выражение \((a + 2)(a - 2)\) удобно раскрыть по формуле разности квадратов:

\((a + 2)(a - 2) = a^2 - 4.\)

Одновременно вычисляем

\(a(a - 5) = a^2 - 5a.\)

Далее вычитаем второе из первого:

\( (a^2 - 4) - (a^2 - 5a) = \)

\(=a^2 - 4 - a^2 + 5a = 5a - 4. \)

Пояснения к пункту б)

Выражение \((a - 3)(3 + a)\) удобно раскрыть по формуле разности квадратов:

\( (a - 3)(a + 3) = a^2 - 9. \)

Одновременно вычисляем

\(a(7 - a) = 7a - a^2.\)

Складываем результаты:

\( (a^2 - 9) + (7a - a^2) =\)

\(=a^2 - 9 + 7a - a^2 = 7a - 9. \)

Пояснения к пункту в)

Выражение \((b - 4)(b + 4)\) удобно раскрыть по формуле разности квадратов:

\( (b - 4)(b + 4) = b^2 - 16. \)

Произведение \((b - 3)(b + 5)\) раскрывается умножением каждого члена первого многочлена на каждый член второго:

\( b^2 + 5b - 3b - 15\).

Вычитаем второе выражение из первого:

\( (b^2 - 16) - (b^2 + 5b - 3b - 15) = \)

\(=b^2 - 16 - b^2 - 5b + 3b + 15 =\)

\(=-2b - 1. \)

Пояснения к пункту г)

Произведение \((b + 8)(b - 6)\) раскрывается умножением каждого члена первого многочлена на каждый член второго:

\( b^2 - 6b + 8b - 48 = b^2 + 2b - 48\).

Произведение \((b - 7)(b + 7)\) раскрываем как разность квадратов:

\( (b - 7)(b + 7) = b^2 - 49. \)

Далее вычитаем второе из первого:

\( (b^2 + 2b - 48) - (b^2 - 49) =\)

\(=b^2 + 2b - 48 - b^2 + 49 = 2b + 1. \)

Пояснения к пункту д)

Произведение \((c - 1)(c + 1)\) раскрываем как разность квадратов:

\((c - 1)(c + 1) = c^2 - 1. \)

Произведение \((c - 9)(c + 9)\) также раскрываем как разность квадратов:

\( (c - 9)(c + 9) = c^2 - 81. \)

Складываем оба результата:

\( c^2 - 1 + c^2 - 81 = 2c^2 - 82. \)

Пояснения к пункту е)

\((5 + c)(c - 5)\) приводим к форме \((c + 5)(c - 5)\) и раскрываем как разность квадратов:

\((5 + c)(c - 5) = c^2 - 25. \)

Произведение \((c - 10)(c + 10)\) также раскрываем как разность квадратов:

\((c - 10)(c + 10) = c^2 - 100. \)

Вычитаем второе из первого:

\( (c^2 - 25) - (c^2 - 100) =\)

\(=c^2 - 25 - c^2 + 100 = 75. \)