Упражнение 969 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Обозначим сторону исходного квадрата через \(x\) (см). Тогда его площадь равна \( x^2\) см². После увеличения стороны на 4 см новая сторона станет \(x + 4\) см и новая площадь будет \( (x + 4)^2\) см². Известно, что разность площадей равна 96 см².

Составим уравнение:

\( (x + 4)^2 - x^2 = 96 \)

\( \cancel{x^2} + 8x + 16 - \cancel{x^2} = 96 \)

\( 8x + 16 = 96 \)

\( 8x = 96 - 16 \)

\( 8x = 80 \)

\( x = \frac{80}{8} \)

\( x = 10\) (см)

Ответ: сторона исходного квадрата равна 10 см.

Пояснения:

1) Формула площади квадрата:

Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(\;a^2\).

2) Постановка уравнения:

Обозначив сторону исходного квадрата через \(x\), получаем площадь \(x^2\). После увеличения стороны на 4 см новая сторона равна \(x + 4\), и новая площадь равна \((x + 4)^2\). По условию разность новой и старой площади равна 96 см², что выразили уравнением

\((x + 4)^2 - x^2 = 96\).

3) Раскрытие скобок и приведение подобных членов:

Разложили \((x + 4)^2\) как \(x^2 + 8x + 16\), затем вычли \(x^2\), получили \(8x + 16\), который приравняли к 96.

4) Решение линейного уравнения:

В уравнении \(8x + 16 = 96\) перенесли 16 вправо с противоположным знаком, получили \(8x = 80\), откуда \(x = 10\).

Значит, сторона исходного квадрата равна 10 см.

а) \( b^2 + 10b + 25 =\)

\(b^2 + 2\cdot b \cdot 5 + 5^2 =\)

\( =(b + 5)^2. \)

б) \( c^2 - 8c + 16 =\)

\(=c^2 - 2\cdot c \cdot 4 + 4^2 =\)

\(=(c - 4)^2. \)

в) \( 16x^2 - 8x + 1 =\)

\(=16x^2 - 2\cdot4x\cdot1 + 1^2 =\)

\(=(4x - 1)^2. \)

г) \( 4c^2 + 12c + 9 \)

\(=(2c)^2 + 2\cdot2c\cdot3 + 3^2 =\)

\(=(2c + 3)^2. \)

д) \( x^4 + 2x^2y + y^2 =\)

\(=(x^2)^2 + 2x^2y + y^2 =\)

\(=(x^2 + y)^2. \)

е) \(a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4 =\)

\( = (a^3)^2 - 2\cdot a^3\cdot3b^2 + (3b^2)^2 =\)

\(=(a^3 - 3b^2)^2. \)

Пояснения:

Использованные правила и приемы:

1) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

2) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

3) Свойства степени:

\((a^nb^n=(ab)^n\),

\((a^m)^n=a^{mn}\).