Упражнение 964 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( 3{,}5x^3 \;-\; 2{,}1x^2 \;+\; 1{,}9x \;-\; 16{,}7 \)

при \(x = 3{,}7\).

1) 1 способ:

1) \( 3,5x^3 = 3,5\cdot 3{,}7^3 = \)

\(=3,5\cdot (3{,}7 \cdot 3{,}7\cdot 3{,}7) = \)

\(=3,5\cdot 50{,}653 = 177{,}2855; \)

2) \(2,1x^2 = 2,1\cdot3{,}7^2 = \)

\(=2,1\cdot(3{,}7\cdot3{,}7)=\)

\(=2,1\cdot13{,}69= 28{,}749; \)

3) \( 1{,}9x = 1{,}9 \cdot 3{,}7 = 7{,}03; \)

4) \(177,2855-28,749+7,03-16,7= \)

\(= 148{,}5365 + 7{,}03 \;-\; 16{,}7 =\)

\(=155{,}5665 - 16{,}7 = 138{,}8665. \)

2 способ:

\(3{,}5x^3 - 2{,}1x^2 + 1{,}9x - 16{,}7 =\)

\(=\bigl(\,(3{,}5x - 2{,}1)\,x + 1{,}9\bigr)\,x - 16{,}7. \)

1) \(3{,}5 \cdot 3{,}7 − 2{,}1 = 12{,}95 − 2{,}1 =\)

\(=10{,}85;\)

2) \(10{,}85 \cdot 3{,}7 = 40{,}145;\)

3) \(40{,}145 + 1{,}9 = 42{,}045;\)

4) \(42{,}045 \cdot 3{,}7 = 155{,}5665;\)

5) \(155{,}5665 − 16{,}7 = 138{,}8665.\)

Ответ: \(138{,}8665\).

Пояснения:

1) 1 способ (прямой расчёт каждого члена):

— Сначала отдельно вычисляем \(x^3\) и \(x^2\) при \(x = 3{,}7\), затем умножаем на соответствующие коэффициенты \(3{,}5\) и \(2{,}1\).

— После этого вычисляем \(1{,}9x\) и вычитаем \(16{,}7\).

— Наконец, складываем или вычитаем все полученные числа, получаем итоговую сумму.

— Требует четырёх операций возведения в степень, четырёх умножений и трёх сложений/вычитаний до получения суммы.

2) 2 способ (с помощью преобразований):

— Преобразовали многочлен:

\(\bigl(\,(3{,}5x - 2{,}1)\,x + 1{,}9\bigr)\,x - 16{,}7\), чтобы при вычислении каждый результат сразу умножать на \(x\) и добавлять следующий коэффициент.

— При \(x = 3{,}7\) последовательно:

1) вычислили \(3{,}5 \cdot x\);

2) вычли \(2{,}1\);

3) умножили на \(x\);

4) сложили с \(1{,}9\);

5) умножили на \(x\);

6) вычли \(16{,}7\).

— Получили тот же результат \(138{,}8665\).

— Данный способ позволяет сократить количество операций: вместо нескольких возведений в степень и отдельных умножений достаточно шести простых операций умножения и сложения.

3) Сравнение способов:

2 способ экономит время вычислений на калькуляторе, так как сокращает число операций. Результат одинаков — \(138{,}8665\), но 2 способ обычно быстрее (меньше нажатий клавиш при работе с калькулятором).

\( 147 = 145 + 2 \)

\( 147^6 = (145 + 2)^6 =\)

\(= 145^6 + 6 \cdot145^5 \cdot 2 + 15 \cdot 145^4 \cdot 2^2 + 20 \cdot 145^3 \cdot 2^3 + 15 \cdot 145^2 \cdot 2^4 + 6 \cdot 145 \cdot 2^5 + 1 \cdot 1 \cdot 64 =\)

\(= (145^6 + 6 \cdot145^5 \cdot 2 + 15 \cdot 145^4 \cdot 4 + 20 \cdot 145^3 \cdot 8 + 15 \cdot 145^2 \cdot 16 + 6 \cdot 145 \cdot 32) + 64\) - остаток 64.

Ответ: остаток 64.

Пояснения:

При записи формулы двучлена

\(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Значит, коэффициенты двучлена шестой степени равны:

1; 6; 15; 20; 15; 6; 1.

Тогда \(147^6 =(145 + 2)^6\) можно разложить по формуле с помощью треугольника Паскаля. Полученные слагаемые, начиная с первого до шестого, содержат хотя бы одну степень 145 (то есть множитель 145). Такие слагаемые при делении на 145 дают нулевой остаток. Остаток от деления суммы равен сумме остатков от деления каждого слагаемого. Так как первые шесть слагаемых делятся на 145 нацело, остаётся только слагаемое \(2^6 = 64\). Поскольку \(64 < 145\), при делении \(64\) на \(145\) остаток равен самому \(64\).