Упражнение 967 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \( x^3 - x = x(x^2 - 1)= \)

\(=x(x - 1)(x + 1)\) — три последовательных целых числа, один из которых делится на 2, а один на 3. Поэтому значение многочлена \( x^3 - x\) делится на \(6\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя: Если у членов многочлена есть общий множитель, то его можно вынести за скобки. Здесь из \(x^3 - x\) вынесли \(x\), получив \(x(x^2 - 1)\).

— Формула разности квадратов: \(\displaystyle a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Применили для

\(x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)\).

— Признак делимости на 2 и 3 для трёх последовательных чисел: Среди любых трёх последовательных целых чисел обязательно найдётся хотя бы одно чётное (делится на 2) и хотя бы одно, делящееся на 3. Поэтому \[ x(x - 1)(x + 1) \] делится и на 2, и на 3, а значит, на их произведение — на 6.

Таким образом, для любого целого \(x\) значение \(x^3 - x\) кратно 6.

а) \(\;(x + 7)^2 - (x - 5)(x + 19)=\)

\(= x^2 + 14x + 49 - (x^2 + 19x - 5x - 95)=\)

\(=\cancel{x^2} + \cancel{14x} + 49 - \cancel{x^2} - \cancel{19x} + \cancel{5x} + 95 =\)

\(=49 + 95 = 144 \) - не зависит от \(x\).

б) \(\;(x + 9)^2 + (8 - x)(x + 26)=\)

\(= \cancel{x^2} + \cancel{18x} + 81 + \cancel{8x} + 208 - \cancel{x^2} - \cancel{26x}=\)

\(=81 + 208 = 289\) - не зависит от \(x\).

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).

Вычитание многочленов: при вычитании многочленов у вычитаемого многочлена при раскрытии скобок меняем все знаки на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

1) Раскрытие скобок и приведение подобных членов:

— При раскрытии скобок мы получили многочлены, каждое слагаемое которых содержало одинаковую степень \(x\).

— При вычитании или сложении многочленов одинаковые по степени члены взаимно сокращаются, остаётся только постоянная часть.

2) Независимость от \(x\):

— В обоих случаях после раскрытия и приведения подобных членов все члены, содержащие \(x\), сокращаются (так как \(x^2 - x^2 = 0\) и \(ax - ax = 0\)), и остаётся только сумма чисел.

— В пункте (а) это сумма

\(49 + 95 = 144\).

— В пункте (б) это сумма

\(81 + 208 = 289\).

— Поэтому конечный результат в обоих выражениях не зависит от значения \(x\).