Упражнение 1089 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а)  \( \begin{cases} 7x + 4y = 23,\\ 8x - 10y = 19; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4y = 23 - 7x,\\ 8x - 10y = 19; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{23 - 7x}{4},\\ 8x - 10\cdot\frac{23 - 7x}{4} = 19; \end{cases} \)

\( 8x - 10\cdot\frac{23 - 7x}{4} = 19 \)  / \(\times{4}\)

\( 32x - 10(23 - 7x) = 76\)

\(32x - 230 + 70x = 76\)

\(32x + 70x = 76 + 230\)

\(102x = 306\)

\(x=\frac{306}{102}\)

\(x = 3 \)

\( y = \frac{23 - 7\cdot3}{4} = \frac{23 - 21}{4} = \frac{2}{4} = 0,5. \)

Ответ: \((3; 0,5)\) - координаты точки пересечения графиков.

б) \( \begin{cases} 11x - 6y = 2,\\ -8x + 5y = 3; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 11x - 6y = 2,\\ 5y = 3 + 8x; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 11x - 6\cdot\frac{3 + 8x}{5} = 2,\\y = \frac{3 + 8x}{5}; \end{cases} \)

\( 11x - 6\cdot\frac{3 + 8x}{5} = 2 \)  /\(\times{5}\)

\( 55x - 6(3 + 8x) = 10\)  

\(55x - 18 - 48x = 10\)

\(7x = 10 + 18\)

\(7x = 28\)

\(x= \frac{28}{7}\)

\(x = 4 \)

\( y = \frac{3 + 8\cdot4}{5} = \frac{3 + 32}{5} = \frac{35}{5} = 7. \)

Ответ: \((4,7)\) - координаты точки пересечения графиков.

Пояснения:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков без их построения, нужно решить систему, состоящую из этих уравнений. Решение системы - координаты точки пересечения графиков заданных функций.

При решении систем применён метод подстановки:

– Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

– Подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной.

– Решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной.

– Затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.

 \(A(-1;3)\) и \(B(2;-1)\)

\(y = kx + b\)

\( \begin{cases} 3 = -1\cdot k + b,\\ -1 = 2k + b. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -k + b = 3,\\ 2k + b = -1.      /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} -k + b = 3,\\ -2k - b = 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -3k = 4,\\ -2k - b = 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac{4}{3},\\ b = -2k - 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1\frac{1}{3},\\ b = -2\cdot(-\frac{4}{3}) - 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1\frac{1}{3},\\ b = \frac{8}{3} - 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1\frac{1}{3},\\ b = 2\frac{2}{3} - 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1\frac{1}{3},\\ b = 1\frac{2}{3}. \end{cases} \)

\(y = -1\frac{1}{3}x + 1\frac{2}{3}\)

Ответ: \(y = -1\frac{1}{3}x + 1\frac{2}{3}\).

Пояснения:

Используемые приёмы:

1) Уравнение линейной функции

\(y=kx+b\).

2) Составление системы из двух уравнений

\(\;y_1 = kx_1 + b,\;y_2 = kx_2 + b\),

где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты точек, через которые проходит прямая.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

5) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

6) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.