Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1097 учебника 2023-2025 (стр. 217):
Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой
\[y = x^2 - 4x + 5,\]
расположены в верхней полуплоскости.
№1097 учебника 2013-2022 (стр. 219):
Разложите на множители:
а) \(15a^2 - 15b^2\);
б) \(29a^2 + 29b^2 + 58ab\);
в) \(10a^3 + 10b^3\);
г) \(18a^3 - 18b^3\);
д) \(47a^6 - 47b^6\);
е) \(51a^6 + 51b^6\).
№1097 учебника 2023-2025 (стр. 217):
Вспомните:
№1097 учебника 2013-2022 (стр. 219):
Вспомните:
№1097 учебника 2023-2025 (стр. 217):
\( y = x^2 - 4x + 5 = \)
\((x^2 - 4x + 4) + 1 =\)
\(=(x - 2)^2 + 1. \)
Для любого значения \(x\):
\((x - 2)^2 \ge 0\), тогда
\(y = (x - 2)^2 + 1 > 0\)
Значит, при всех \(x\) значения \(y\) положительны, и график лежит в верхней полуплоскости.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Выделение полного квадрата:
\[(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2.\]
2. Свойство квадрата:
\((x - 2)^2 \ge 0\) для всех значений \(x\).
3. Определение верхней полуплоскости: множество точек с координатой \(y>0\).
1. Сначала в квадратном трёхчлене \(x^2 - 4x + 5\) представили \(5\) как \(4 + 1\), чтобы получить полный квадрат
\((x - 2)^2\).
2. После выделения полного квадрата осталось \(+1\), поэтому \(y \ge 1\). Это доказывает, что \(y\) никогда не обращается в ноль или отрицательное значение.
3. Таким образом, все точки графика \((x, y)\) имеют \(y>0\), то есть располагаются в верхней полуплоскости.
№1097 учебника 2013-2022 (стр. 219):
а) \( 15a^2-15b^2 = 15\bigl(a^2 - b^2\bigr) =\)
\(=15\,(a-b)(a+b). \)
б) \( 29a^2+29b^2+58ab =\)
\(=29\bigl(a^2+b^2+2ab\bigr) =\)
\(=29\bigl(a^2+2ab+b^2\bigr) =\)
\(=29\,(a+b)^2. \)
в) \( 10a^3+10b^3 = 10\bigl(a^3+b^3\bigr) =\)
\(=10\,(a+b)\bigl(a^2-ab+b^2\bigr). \)
г) \( 18a^3-18b^3 = 18\bigl(a^3-b^3\bigr) =\)
\(=18\,(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr). \)
д) \( 47a^6-47b^6 = 47\bigl(a^6-b^6\bigr) =\)
\(=47\bigl((a^3)^2-(b^3)^2\bigr) =\)
\(=47\,(a^3-b^3)(a^3+b^3) = \)
\(=47\,(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr)\,(a+b)\bigl(a^2-ab+b^2\bigr). \)
е) \( 51a^6+51b^6 = 51\bigl(a^6+b^6\bigr) =\)
\(=51\bigl((a^2)^3+(b^2)^3\bigr) =\)
\(=51\,(a^2+b^2)\bigl(a^4 - a^2b^2 + b^4\bigr). \)
Пояснения:
Использованные формулы и приёмы:
1) Вынесение общего множителя:
\(c x + c y = c(x+ y)\),
\(c x - c y = c(x- y)\),
2) Разность квадратов:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
3) Квадрат суммы:
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\).
4) Сумма и разность кубов:
\( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\),
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2). \)
5) Свойство степени:
\((a^m)^n=a^{m\,\cdot\,n}\).
Вернуться к содержанию учебника