Упражнение 1098 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 219

а) \( \begin{cases} 2x + 11y = 15,\\ 10x - 11y = 9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 12x = 24,\\ 10x - 11y = 9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{24}{12},\\ 10x - 11y = 9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{24}{12},\\ 11y =10x - 9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y =\frac{10x - 9}{11}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y =\frac{10\,\cdot\,2 - 9}{11}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y =\frac{20 - 9}{11}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y =\frac{11}{11}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y =1. \end{cases} \)

Ответ: \( x = 2\), \(y =1\).

б) \( \begin{cases} 8x - 17y = 4,\\ -8x + 15y = 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2y = 8,\\ -8x + 15y = 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -\frac{8}{2},\\ 8x = 15y - 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -4,\\ x = \frac{15y - 4}{8}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -4,\\ x = \frac{15\,\cdot\,(-4) - 4}{8}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -4,\\ x = \frac{-60-4}{8}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -4,\\ x = \frac{-64}{8}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -4,\\ x = -8; \end{cases} \)

Ответ: \( x = -8\), \(y = -4\).

в) \( \begin{cases} 4x - 7y = 30,\\ 4x - 5y = 90;   /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x - 7y = 30,\\ -4x + 5y = -90; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2y = -60,\\ -4x + 5y = -90; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =-\frac{60}{2},\\ 4x = 5y + 90; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30,\\ x = \frac{5y + 90}{4}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30,\\ x = \frac{5\,\cdot\,30 + 90}{4}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30,\\ x = \frac{150 + 90}{4}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30,\\ x = \frac{240}{4}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30,\\ x = 60; \end{cases} \)

Ответ: \(x = 60\), \(y=30\).

г) \( \begin{cases} 13x - 8y = 28,\\ 11x - 8y = 24; /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 13x - 8y = 28,\\ -11x + 8y = -24. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x = 4,\\ -11x + 8y = -24. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{4}{2},\\ 8y = 11x-24. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = \frac{11x-24}{8}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = \frac{11\,\cdot\,2-24}{8}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = \frac{22-24}{8}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = \frac{22-24}{8}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = \frac{-2}{8}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2,\\ y = -0,25. \end{cases} \)

Ответ: \(x = 2\), \(y = -0,25\).

Пояснения:

Правила и приёмы:

1) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных, там где необходимо одно из уравнений умножаем на \(-1\), чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

2) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

3) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

4) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Объяснение для (а):

Мы сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(y\) в них равны по модулю и противоположны: \(11y\) и \(-11y\). В результате переменная \(y\) исчезла и получилось линейное уравнение:

\( 12x=24\), откуда \( x=2. \)

Затем подставили найденное значение \(x\) во второе уравнение для нахождения \(y\).

Объяснение для (б):

Мы сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(8x\) и \(-8x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(-2y=8\), откуда \(y=-4\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).

Объяснение для (в):

Левую и правую части второго уравнения системы умножили на \(-1\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(x\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(4x\) и \(-4x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(-2y=-60\), откуда \(y=30\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).

Объяснение для (г):

Левую и правую части второго уравнения системы умножили на \(-1\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(y\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(y\) в них равны по модулю и противоположны: \(-8y\) и \(8y\). В результате переменная \(y\) исчезла и получилось линейное уравнение

 \(2x=4\), откуда \(x=2\).

Затем подставили найденное значение \(x\) во второе уравнение для нахождения \(y\).

а) \( 2x(8x-1) - (4x+1)^2=\)

\(= 16x^2 - 2x - (16x^2 + 8x + 1)=\)

\(=\cancel{16x^2} - 2x - \cancel{16x^2} - 8x - 1 = \)

\(=-10x - 1. \)

б) \( 4(3y-1)^2 - 18y(2y-1) =\)

\(= 4\bigl(9y^2 - 6y + 1\bigr) - 36y^2 + 18y=\)

\(=\cancel{36y^2} - 24y + 4 - \cancel{36y^2} + 18y= \)

\(=-6y + 4. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Умножение одночлена на многочлен (распределительное свойство умножения):

\(a(b+c)=ab+ac\).

2) Формула квадрата суммы:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\).

3) Раскрытие скобок со знаком «−»:

\(a - (b+c) = a - b - c\).

4) Сложение подобных членов: суммируем и вычитаем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).