Упражнение 128 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{mx^2 - my^2}{2m + 8}\;\cdot\;\frac{3m + 12}{my + mx} =\)

\(=\frac{m(x^2 - y^2)}{2(m + 4)}\;\cdot\;\frac{3(m + 4)}{m(x + y)} =\)

\(=\frac{\cancel{m}\,(x - y)\cancel{(x + y)}\cdot3\,\cancel{(m + 4)}}{2\,\cancel{(m + 4)} \cdot \cancel{m}\,\cancel{(x + y)}} =\)

\(=\frac{3(x - y)}{2}. \)

б) \(\displaystyle \frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2}\;\cdot\;\frac{x^2 - xy}{7x + 7y} =\)

\(=\frac{a(x + y)}{(x - y)^2}\;\cdot\;\frac{x(x - y)}{7(x + y)} =\)

\(=\frac{a\,\cancel{(x + y)}\cdot x\,\cancel{(x - y)}}{(x - y)^{\cancel{2}}\cdot 7\,\cancel{(x + y)}} =\)

\(=\frac{a\,x}{7\,(x - y)}. \)

в) \(\displaystyle \frac{x^3 - y^3}{x + y}\;\cdot\;\frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} =\)

\(=\frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y}\;\cdot\;\frac{(x - y)(x + y)}{x^2 + xy + y^2} =\)

\(=\frac{(x - y)\,\cancel{(x^2 + xy + y^2)}\cdot(x - y)\,\cancel{(x + y)}}{\cancel{(x + y)}\cdot\cancel{(x^2 + xy + y^2)}} =\)

\(=(x - y)^2. \)

г) \(\displaystyle \frac{a^2 - 1}{a^3 + 1}\;\cdot\;\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1} =\)

\(=\frac{(a - 1)(a + 1)}{(a + 1)(a^2 - a + 1)}\;\cdot\;\frac{a^2 - a + 1}{(a + 1)^2} =\)

\(=\frac{(a - 1)\cancel{(a + 1)}\cdot\cancel{(a^2 - a + 1)}}{\cancel{(a + 1)}\cancel{(a^2 - a + 1)}\cdot(a + 1)^2} =\)

\(=\frac{a - 1}{(a + 1)^2}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

• Для умножения дробей перемножаем числители и знаменатели отдельно, при этом если возможно, сначала числители и знаменатели умножаемых дробей раскладываем на множители:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);

- разность кубов двух выражений:

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\);

- сумма кубов двух выражений:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\);

• Сокращение: одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются.

Пусть \(\displaystyle \frac{a}{b}\) — квадрат дроби \(\displaystyle \frac{p}{q}\), то есть

\(\displaystyle \frac{a}{b} = \Bigl(\frac{p}{q}\Bigr)^2= \frac{p^2}{q^2}\)

\(\displaystyle ab = ab\cdot \frac{b}{b}= \frac{a}{b}\cdot b^2=\)

\(=\frac{p^2}{q^2} \cdot b^2 = \frac{p^2\,b^2}{q^2} = \Bigl(\frac{p\,b}{q}\Bigr)^{\!2}.\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При доказательстве использовали свойства степени:

\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\);

\((a^nb^n = (ab)^n\).