Упражнение 157 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{4xy}{y^2 - x^2} : \Bigl(\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}\Bigr)=\)

\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \Bigl( \frac{1}{(y - x)(y+x)} ^{\color{blue}{\backslash{y+x}}} + \frac{1}{(y+x)^2} ^{\color{blue}{\backslash{y-x}}} \Bigr)=\)

\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{(y+x)+(y-x)}{(y-x)(y+x)^2} =\)

\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{y+\cancel{x}+y-\cancel{x}}{(y-x)(y+x)^2} =\)

\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{2y}{(y^2-x^2)(y+x)} =\)

\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} \cdot \frac{(y^2-x^2)(y+x)}{2y} =\)

\( =\frac{^2\cancel{4}x\cancel{y}\cdot\cancel{(y^2-x^2)}(y+x)}{\cancel{(y^2 - x^2)}\cdot\cancel{2y}} =\)

\(=2x(y+x).\)

б) \(\Bigl(\frac{x-2y}{x^2+2xy} - \frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\Bigl(\frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{1}{(x-2y)(x+2y)}\cdot\frac{(2y-x)^2}{x+2y}\Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\Bigl(\frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{(x-2y)^{\cancel{2}}}{{\cancel{(x-2y)}}(x+2y)^2}\Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\Bigl(\frac{x-2y}{x(x+2y)} ^{\color{blue}{\backslash{x+2y}}} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} \Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\frac{(x-2y)(x+2y)-x(x-2y)}{x(x+2y)^2}\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\frac{\cancel{x^2}-4y^2-\cancel{x^2}+2xy}{x(x+2y)^2}\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\frac{-4y^2+2xy}{x(x+2y)^2}\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\frac{\cancel{2y}(x-2y)\cdot\cancel{(x+2y)^2}}{x\cancel{(x+2y)^2}\cdot\cancel{4}_2y^{\cancel{2}}}=\)

\(=\frac{x-2y}{2xy}.\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

7) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

8) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

Пояснения к пунктам:

Пункт а): привели две дроби к общему знаменателю \((y-x)(x+y)^2\), сложили числители, затем разделили исходную дробь на получившуюся и сократили одинаковые множители.

Пункт б): сначала заменили деление на дробь умножением на обратную и упростили его, затем выполнили вычитание дробей, а в конце умножили на внешнюю дробь и сократили одинаковые множители.

\( \bigl(0{,}5\,(a-1)^2 - 18\bigr)\;\Bigl(\frac{a+5}{a-7} ^{\color{blue}{\backslash{}a+5}} + \frac{a-7}{a+5} ^{\color{blue}{\backslash{a-7}}} \Bigr) =\)

\(= \bigl(\frac{a^2 - 2a +1}{2} -18 ^{\color{blue}{\backslash2}} \bigr)\cdot\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)} =\)

\(= \frac{a^2 - 2a +1-36}{2} \cdot\frac{a^2+10a+25+a^2-14a+49}{(a-7)(a+5)} =\)

\(= \frac{a^2 - 2a - 35}{2} \cdot\frac{2a^2-4a+74}{(a-7)(a+5)} =\)

\(= \frac{a^2 - 2a - 35}{2} \cdot\frac{2(a^2-2a+37)}{a^2+5a-7a-35} =\)

\(= \frac{\cancel{(a^2 - 2a - 35)}\cdot \cancel{2}(a^2-2a+37)}{\cancel{2}\cdot\cancel{(a^2-2a-35)}} =\)

\(=a^2-2a+37=a^2-2a+1 + 36 = \)

\(=(a-1)^2 + 36 > 0\) при любом значении \(a\).

Наименьшее значение будет при \(a = 1\):

\((1-1)^2 + 36 = 36\).

Ответ: при \(a=1\) выражение принимает наименьшее значение, равное \(36\).

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

7) Подстановка \(a=1\) даёт значение \(36\), что и будет наименьшим значением функции.