Упражнение 200 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 52

\( \biggl(\frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{4 - x^2}\biggr) : \frac{x+7}{x-2}=\)

\(= \biggl(\frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} + \frac{12}{x^2-4}\biggr) : \frac{x+7}{x-2}=\)

\(= \biggl(\frac{3}{x+2} ^{\color{blue}{\backslash{x-2}}} - \frac{1}{x-2} ^{\color{blue}{\backslash{x+2}}} + \frac{12}{(x-2)(x+2)}\biggr) : \frac{x+7}{x-2}=\)

\(= \frac{3(x-2) - (x+2)+12}{(x+2)(x-2)} : \frac{x+7}{x-2}=\)

\(= \frac{3x-6 - x - 2+12}{(x+2)(x-2)} : \frac{x+7}{x-2}=\)

\(= \frac{2x+4}{(x+2)(x-2)} : \frac{x+7}{x-2}=\)

\(= \frac{2(x+2)}{(x+2)(x-2)} \cdot \frac{x-2}{x+7}=\)

\(= \frac{2\cancel{(x+2)}\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x-2)}(x+7)} =\frac{2}{x+7}.\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

7) Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

Выполним деление многочленов:

\(a^2 - 4a + 1=(a-2)(a-2)+(-3)\)

\(\frac{a^2 - 4a + 1}{a - 2} = a - 2 + \frac{-3}{a - 2}\)

Чтобы выражение было целым, дробь \(\frac{-3}{a - 2}\) должна быть целой. Значит, \(a - 2\) — делитель числа \(-3\).

Делители \(-3\): \(\pm1,\pm3\). 

Если  \(a - 2 = 1\) , то \(a = 3\):

\(3 - 2 - \frac{3}{1} = -2\).

Если \(a - 2 = -1\), то \(a = 1\):

\(1 - 2 - \frac{3}{-1} = 2\).

Если \(a - 2 = 3\), то \(a = 5\):

\(5 - 2 - \frac{3}{3} = 2\).

Если \(a - 2 = -3\), то \(a = -1\):

 \(-1 - 2 - \frac{3}{-3} = -2\).

Ответ: при \(a=\pm1,3, 5\) дробь принимает целые значения \(-2\) и \(2\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Выполняем деление многочлена на многочлен  для представления рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2. Дробь \(\frac{p}{q}\) при целых \(p,q\) целая тогда и только тогда, когда \(q\) делит \(p\).

3. Перечисление всех целочисленных делителей числа \(-3\).

Пояснения к шагам:

Сначала разделили \(a^2 - 4a + 1\) на \(a - 2\), чтобы выделить целую часть \(a-2\) и остаток \(-3\).

Затем потребовали, чтобы оставшаяся дробь \(\frac{-3}{a-2}\) была целой, то есть \(a-2\) должен быть делителем \(-3\).

Перебрав значения \(a-2\in\{-3,-1,1,3\}\), получили соответствующие целые \(a\) и вычислили значение всей дроби.