Упражнение 228 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

 \(\displaystyle \frac{x}{y}=5⇒x=5y\).

а) \(\displaystyle \frac{x+y}{y} = \frac{5y + y}{y} = \frac{6y}{y} = 6.\)

б) \(\displaystyle \frac{x-y}{y} = \frac{5y - y}{y} = \frac{4y}{y} = 4.\)

в) \(\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{y}{5y} = \frac{1}{5}=0,2.\)

г) \(\displaystyle \frac{x+2y}{x} = \frac{5y + 2y}{5y} = \frac{7y}{5y} = \frac{7}{5}=1,4.\)

Пояснения:

1) Из условия \(\displaystyle \frac{x}{y}=5\) следует подстановка \(x=5y\).

2) При подстановке получаем дроби вида \(\displaystyle \frac{Ay}{By}\), которые сокращаются по правилу: \[\frac{Ay}{By}=\frac{A}{B}.\]

3) Для пунктов а) и б) числитель — сумма или разность одночленов с общим множителем \(y\), поэтому его раскрывают и приводят подобные: \[(5y \pm y)=6y \text{ или }4y.\]

4) Для пункта в) дробь \(\frac{y}{5y}\) сразу сокращается до \(\frac{1}{5}=0,2\).

5) Для пункта г) аналогично складывают одночлены в числителе \(5y+2y=7y\) и сокращают на \(y\).

а)  \(\frac{mn+1}{m+n} ^{\color{red}{\backslash{m-n}}} + \frac{mn-1}{m-n}^{\color{red}{\backslash{m+n}}}=\)

\( =\frac{(mn+1)(m-n)}{m^2-n^2}+\frac{(mn-1)(m+n)}{m^2-n^2}= \)

\( =\frac{(mn+1)(m-n)+(mn-1)(m+n)}{m^2-n^2}= \)

\( =\frac{m^2n - \cancel{mn^2} +\cancel{m} - n+m^2n +\cancel{ mn^2} - \cancel{m} - n}{m^2-n^2}= \)

\(= \frac{2m^2n -2n}{m^2-n^2} =\frac{2n(m^2-1)}{m^2-n^2}. \)

б) \(\frac{x+4a}{3a+3x} - \frac{a-4x}{3a-3x}=\)

\(=\frac{x+4a}{3(a+x)}^{\color{red}{\backslash{a-x}}} - \frac{a-4x}{3(a-x)}^{\color{red}{\backslash{a+x}}}=\)

\( =\frac{(x+4a)(a-x)}{3(a^2-x^2)}-\frac{(a-4x)(a+x)}{3(a^2-x^2)}= \)

\( =\frac{(x+4a)(a-x)-(a-4x)(a+x)}{3(a^2-x^2)}= \)

\( =\frac{4a^2 -3ax - x^2-(a^2 -3ax -4x^2)}{3(a^2-x^2)}= \)

\( =\frac{4a^2 -\cancel{3ax} - x^2-a^2 +\cancel{3ax} +4x^2}{3(a^2-x^2)}= \)

\( =\frac{3a^2 +3x^2}{3(a^2-x^2)}= \)

\( =\frac{3(a^2 +x^2)}{3(a^2-x^2)}=\frac{a^2 +x^2}{a^2-x^2}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы и правила:

– Приведение дробей к общему знаменателю путём домножения на дополнительный множитель.

– Раскрытие скобок в числителе: перемножение двучленов.

– Приведение подобных слагаемых после раскрытия скобок.

– Вынос общего множителя за скобку для упрощения дроби.

В пункте а) сначала нашли общий знаменатель \(m^2-n^2\), домножили каждую дробь, раскрыли скобки в числителе, сложили полученные выражения и вынесли общий множитель \(2n\).

В пункте б) заметили множители \(3(a+x)\) и \(3(a-x)\), выбрали общий знаменатель \(3(a^2-x^2)\), домножили дроби, раскрыли скобки, вычли числители и сократили общий множитель \(3\).