Упражнение 224 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3} =\)

\(=\frac{x^2 - 2x -4x +9}{x-3} =\)

\(=\frac{x^2 - 6x +9}{x-3} =\)

\(=\frac{(x-3)^{ \cancel 2}}{ \cancel {x-3}} = x - 3.\)

б) \(\displaystyle \frac{y^2 - 10}{y - 8} - \frac{54}{y - 8} =\)

\(=\frac{y^2 - 10 - 54}{y-8} = \frac{y^2 - 64}{y-8} =\)

\(\frac{ \cancel {(y-8)}(y+8)}{ \cancel {y-8}} = y + 8.\)

в) \(\displaystyle \frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{b^2 - a^2} =\)

\(=\frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{b^2}{a^2 - b^2} =\)

\(= \frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1.\)

г) \(\displaystyle \frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2} =\)

\(=\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} + \frac{2y - y^2}{x^2 - y^2} =\)

\(= \frac{x^2 - 2x +2y -y^2}{x^2 - y^2} =\)

\(= \frac{x^2  -y^2- 2x +2y}{x^2 - y^2} =\)

\(= \frac{(x  -y)(x+y)- 2(x -y)}{x^2 - y^2} =\)

\(= \frac{\cancel{(x  -y)}(x+y- 2)}{\cancel{(x - y)}(x+y)} =\)

\(= \frac{(x+y- 2)}{(x+y)} .\)

Пояснения:

Основные используемые правила и формулы:

1) Свойство сложения/вычитания дробей с одинаковым знаменателем: \[\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}.\]

2) Формула разности квадратов: \[A^2 - B^2 = (A - B)(A + B).\]

а) Сначала привели две дроби к общему знаменателю \(x-3\), объединили числители: \[x^2 - 2x - (4x - 9) = x^2 - 2x - 4x + 9 = x^2 - 6x + 9.\] Затем заметили, что \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\), и сократили на \(x-3\).

б) Аналогично объединили дроби с общим знаменателем \(y-8\): \[y^2 - 10 - 54 = y^2 - 64,\] а \(y^2 - 64 = (y-8)(y+8)\), что даёт сокращение на \(y-8\).

в) Во второй дроби поменяли знак знаменателя \(b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)\): \[\frac{b^2}{b^2 - a^2} = -\frac{b^2}{a^2 - b^2}.\] После приведения к общему знаменателю получилось \(\frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1\).

г) Во второй дроби также изменили знак: \(- \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2}=+ \frac{2y - y^2}{ x^2-y^2}\)

Затем объединили с первой дробью: \(x^2 - 2x +2y -y^2\) над общим знаменателем \(x^2 - y^2\). Разложили числитель и знаменатель на множители: \((x  -y)(x+y- 2)\) и \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Сократили на  \(x-y.\)

 \(\displaystyle \frac{x}{y}=5⇒x=5y\).

а) \(\displaystyle \frac{x+y}{y} = \frac{5y + y}{y} = \frac{6y}{y} = 6.\)

б) \(\displaystyle \frac{x-y}{y} = \frac{5y - y}{y} = \frac{4y}{y} = 4.\)

в) \(\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{y}{5y} = \frac{1}{5}=0,2.\)

г) \(\displaystyle \frac{x+2y}{x} = \frac{5y + 2y}{5y} = \frac{7y}{5y} = \frac{7}{5}=1,4.\)

Пояснения:

1) Из условия \(\displaystyle \frac{x}{y}=5\) следует подстановка \(x=5y\).

2) При подстановке получаем дроби вида \(\displaystyle \frac{Ay}{By}\), которые сокращаются по правилу: \[\frac{Ay}{By}=\frac{A}{B}.\]

3) Для пунктов а) и б) числитель — сумма или разность одночленов с общим множителем \(y\), поэтому его раскрывают и приводят подобные: \[(5y \pm y)=6y \text{ или }4y.\]

4) Для пункта в) дробь \(\frac{y}{5y}\) сразу сокращается до \(\frac{1}{5}=0,2\).

5) Для пункта г) аналогично складывают одночлены в числителе \(5y+2y=7y\) и сокращают на \(y\).