Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№221 учебника 2023-2025 (стр. 57):
Докажите, что если в дроби \(\frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy}\) переменные \(x\) и \(y\) заменить соответственно на \(kx\) и \(ky\), где \(k \neq 0\), то получится дробь, тождественно равная первоначальной.
№221 учебника 2013-2022 (стр. 54):
Докажите, что тождественно равно многочлену выражение:
а) \(\displaystyle \frac{(y - b)^2}{y - b + 1} + \frac{y - b}{y - b + 1}\);
б) \(\displaystyle \frac{(a + x)^2}{a + x - 2} - \frac{2a + 2x}{a + x - 2}\);
в) \(\displaystyle \frac{x^2 - y^2}{x - y - 1} + \frac{x + y}{y - x + 1}\);
г) \(\displaystyle \frac{b^2 - 9c^2}{b + 3c - 2} + \frac{2(b - 3c)}{2 - b - 3c}\).
№221 учебника 2023-2025 (стр. 57):
Вспомните:
№221 учебника 2013-2022 (стр. 54):
Вспомните:
№221 учебника 2023-2025 (стр. 57):
\(x \to kx\), \(y \to ky\):
\( \frac{(kx)^2 - 2(ky)^2}{3(ky)^2 + 5\,(kx)(ky)} =\)
\(=\frac{k^2x^2 - 2k^2y^2}{3k^2y^2 + 5k^2xy} =\)
\(=\frac{ \cancel {k^2}\,(x^2 - 2y^2)}{ \cancel {k^2}\,(3y^2 + 5xy)} = \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy}. \)
Пояснения:
1. При возведении в квадрат множителя \(k\) получается \(k^2\).
2. В числителе и знаменателе образовался общий множитель \(k^2\), который можно сократить, поскольку по условию \(k\neq0\).
3. После сокращения дробь принимает тот же вид, что и исходная, то есть тождественно равна первоначальной.
№221 учебника 2013-2022 (стр. 54):
а) \(\displaystyle \frac{(y - b)^2}{y - b + 1} + \frac{y - b}{y - b + 1}=\)
\(=\displaystyle \frac{(y - b)^2 + (y - b)}{y - b + 1} =\)
\(=\frac{(y - b)\bigl((y - b) + 1\bigr)}{y - b + 1} =\)
\(=\frac{(y - b)\cancel{(y - b + 1)}}{\cancel{y - b + 1}} = y - b.\)
б) \(\displaystyle \frac{(a + x)^2}{a + x - 2} - \frac{2a + 2x}{a + x - 2}=\)
\(=\displaystyle \frac{(a + x)^2 - (2a + 2x)}{a + x - 2} =\)
\(=\frac{(a + x)^2 - 2(a + x)}{a + x - 2} =\)
\(=\frac{(a + x)\cancel{\bigl((a + x) - 2\bigr)}}{\cancel{a + x - 2}} = a + x.\)
в) \(\displaystyle \frac{x^2 - y^2}{x - y - 1} + \frac{x + y}{y - x + 1}=\)
\(=\displaystyle \frac{x^2 - y^2}{x - y - 1} + \frac{x + y}{y - x + 1} =\)
\(=\frac{x^2 - y^2}{x - y - 1} - \frac{x + y}{x - y - 1} =\)
\(=\frac{x^2 - y^2 - (x + y)}{x - y - 1} =\)
\(=\frac{(x - y)(x+y) - (x + y)}{x - y - 1} =\)
\(=\frac{\cancel{(x - y - 1)}(x + y)}{\cancel{x - y - 1}} = x + y.\)
г) \(\displaystyle \frac{b^2 - 9c^2}{b + 3c - 2} + \frac{2(b - 3c)}{2 - b - 3c}=\)
\( = \frac{b^2 - 9c^2}{b + 3c - 2} - \frac{2(b - 3c)}{b + 3c - 2} =\)
\(=\frac{b^2 - 9c^2 - 2(b - 3c)}{b + 3c - 2} =\)
\(=\frac{(b-3c)(b+3c) - 2(b - 3c)}{b + 3c - 2} =\)
\(=\frac{\cancel{(b + 3c - 2)}(b - 3c)}{\cancel{b + 3c - 2}} =b - 3c.\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем: \[\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}.\]
2) Вынесение общего множителя: \[A^2 - B = A(A - \tfrac{B}{A}),\] в частности \(t^2 - 2t = t(t - 2).\)
3) Формула разности квадратов: \[A^2 - B^2 = (A - B)(A + B).\]
4) Изменение знака при перенесении минуса из знаменателя: \[\frac{P}{-Q} = -\frac{P}{Q}.\]
В каждой части сначала объединили дроби с общим знаменателем, затем показали, что числитель содержит множитель, равный этому знаменателю, после чего выполнили сокращение и получили многочлен.
Вернуться к содержанию учебника