Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№216 учебника 2023-2025 (стр. 56):
Укажите область определения функции:
а) \(y = \frac{1}{x - 2};\)
б) \(y = \frac{3x}{x + 5};\)
в) \(y = \frac{7x + 1}{2x - 6}.\)
№216 учебника 2013-2022 (стр. 54):
Выполните сокращение дробей:
а) \(\frac{b^{14} - b^7 + 1}{b^{21} + 1};\)
б) \(\frac{x^{33} - 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}};\)
в) \(\frac{x(y - z) - y(x - z)}{x(y - z)^2 - y(x - z)^2};\)
г) \(\frac{a(b + 1)^2 - b(a + 1)^2}{a(b + 1) - b(a + 1)}.\)
№216 учебника 2023-2025 (стр. 56):
Вспомните:
№216 учебника 2013-2022 (стр. 54):
Вспомните:
№216 учебника 2023-2025 (стр. 56):
а) \(y = \frac{1}{x - 2}\)
\(x - 2 \neq 0\)
\(x \neq 2\).
Ответ: область определения функции все числа, кроме \(2\).
б) \(y = \frac{3x}{x + 5};\)
\(x + 5 \neq 0\)
\(x \neq -5\).
Ответ: область определения функции все числа, кроме \(-5\).
в) \(y = \frac{7x + 1}{2x - 6}\)
\(2x - 6 \neq 0\)
\(2x \neq 6\)
\(x \neq 3\).
Ответ: область определения функции все числа, кроме \(3\).
Пояснения:
1. В рациональных функциях запрещены такие значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль.
2. Для функции а) знаменатель \(x-2\) обнулится при \(x=2\), поэтому его исключаем из области.
3. Для функции б) \(x+5=0\) при \(x=-5\),поэтому его исключаем из области.
4. Для функции в) \(2x-6=0\) при \(x=3\), поэтому \(x=3\) не входит в область определения.
№216 учебника 2013-2022 (стр. 54):
а) \(\frac{b^{14} - b^7 + 1}{b^{21} + 1}=\frac{b^{14} - b^7 + 1}{(b^7)^3 + 1}=\)
\(=\frac{ \cancel {b^{14} - b^7 + 1}}{(b^7 + 1) \cancel {(b^{14} - b^7 + 1)}}=\)
\( = \frac{1}{b^7 + 1}; \)
б) \(\frac{x^{33} - 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}}=\)
\(=\frac{(x^{11})^3 - 1}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)}=\)
\(=\frac{(x^{11} - 1) \cancel {(x^{22} + x^{11} + 1)}}{x^{11} \cancel {(x^{22} + x^{11} + 1)}}=\)
\( =\frac{x^{11} - 1}{x^{11}}; \)
в) \(\frac{x(y - z) - y(x - z)}{x(y - z)^2 - y(x - z)^2}=\)
\(=\frac{xy - xz - yx + yz}{x(y^2 - 2yz + z^2) - y(x^2 - 2xz + z^2)}=\)
\(=\frac{ - xz + yz}{xy^2 - 2xyz + xz^2-yx^2 + 2yxz - yz^2}=\)
\(=\frac{-z(x-y)}{xy^2 + xz^2-yx^2- yz^2}=\)
\(=\frac{-z(x-y)}{(xy^2 -yx^2)+ (xz^2- yz^2)}=\)
\(=\frac{-z(x-y)}{-xy(x-y)+z^2 (x- y)}=\)
\(=\frac{ \cancel {-(x - y)}z}{ \cancel {-(x - y)}(xy - z^2)} = \frac{z}{xy - z^2};\)
г) \(\frac{a(b + 1)^2 - b(a + 1)^2}{a(b + 1) - b(a + 1)}=\)
\(=\frac{a(b^2 + 2b + 1) - b(a^2 + 2a + 1)}{a + ab - ab - b}=\)
\(=\frac{ab^2 + 2ab + a-a^2b - 2ab -b}{a + ab - ab - b}=\)
\(=\frac{ab^2 + a-a^2b -b}{a - b}=\)
\(=\frac{(ab^2 -a^2b) + (a-b)}{a - b}=\)
\(=\frac{-ab(a-b) + (a-b)}{a-b}=\)
\(=\frac{(1-ab) \cancel {(a-b)}}{ \cancel {a-b}}=1-ab.\)
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
– Формула суммы/разности кубов: \(u^3 \pm v^3 = (u \pm v)(u^2 \mp uv + v^2)\).
– Вынос общего множителя и группировка одночленов.
– Сокращение общего множителя в числителе и знаменателе.
Комментарий к шагам:
а) Применили сумму кубов к \(b^{21}+1\), сократили общий множитель.
б) Сначала разложили числитель как разность кубов и знаменатель вынесли общий \(x^{11}\), затем сократили.
в) Раскрыли скобки, сгруппировали члены, вынесли общий множитель \((x - y)\) и сократили.
г) Раскладывание на множители показало общий множитель \((a - b)\), после чего выполнили сокращение.
Вернуться к содержанию учебника