Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№416 учебника 2023-2025 (стр. 100):
Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:
а) \((x + \sqrt y)\,(x - \sqrt y)\);
б) \((\sqrt a - \sqrt b)\,(\sqrt a + \sqrt b)\);
в) \((\sqrt{11} - 3)\,(\sqrt{11} + 3)\);
г) \((\sqrt{10} + \sqrt{7})\,(\sqrt{7} - \sqrt{10})\);
д) \((\sqrt a + \sqrt b)^2\);
е) \((\sqrt m - \sqrt n)^2\);
ж) \((\sqrt{2} + 3)^2\);
з) \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2\).
№416 учебника 2013-2022 (стр. 99):
Расположите в порядке возрастания числа:
а) \(3\sqrt3,\;2\sqrt6,\;\sqrt{29},\;4\sqrt2,\;2\sqrt{11};\)
б) \(6\sqrt2,\;\sqrt{58},\;3\sqrt7,\;2\sqrt{14},\;5\sqrt3;\)
в) \(-\sqrt{11},\;-2\sqrt5,\;\sqrt2,\;-2\sqrt6,\;-\sqrt{51};\)
г) \(-\sqrt{83},\;-9\sqrt2,\;-\sqrt{17},\;-5\sqrt8,\;-\frac13\sqrt{18}.\)
№416 учебника 2023-2025 (стр. 100):
Вспомните:
№416 учебника 2013-2022 (стр. 99):
Вспомните:
№416 учебника 2023-2025 (стр. 100):
а) \((x + \sqrt y)(x - \sqrt y) = \)
\(=x^2 - (\sqrt y)^2 = x^2 - y.\)
б) \((\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b) =\)
\(=(\sqrt a)^2 - (\sqrt b)^2 = a - b.\)
в) \((\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3) =\)
\(=(\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2.\)
г) \((\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{7} - \sqrt{10}) =\)
\(=(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{10})^2 = 7 - 10 = -3.\)
д) \((\sqrt a + \sqrt b)^2 =\)
\(=(\sqrt a)^2 + 2\cdot\sqrt a\cdot\sqrt b + (\sqrt b)^2 =\)
\(=a + 2\sqrt{ab} + b.\)
е) \((\sqrt m - \sqrt n)^2 =\)
\(=(\sqrt m)^2 - 2\cdot\sqrt m\cdot\sqrt n + (\sqrt n)^2 =\)
\(=m - 2\sqrt{mn} + n.\)
ж) \((\sqrt{2} + 3)^2 =\)
\(=(\sqrt2)^2 + 2\cdot\sqrt2\cdot3 + 3^2 =\)
\(=2 + 6\sqrt2 + 9 = 11 + 6\sqrt2.\)
з) \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 =\)
\(=(\sqrt5)^2 - 2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt2 + (\sqrt2)^2 =\)
\(=5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}.\)
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
– Формула разности квадратов:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
– Формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
№416 учебника 2013-2022 (стр. 99):
а) \(3\sqrt3,\;2\sqrt6,\;\sqrt{29},\;4\sqrt2,\;2\sqrt{11}.\)
\(3\sqrt3 =\sqrt{3^2\cdot3}= \sqrt{9\cdot3} = \sqrt{27}\);
\(2\sqrt6 =\sqrt{2^2\cdot6}= \sqrt{4\cdot6} = \sqrt{24}\);
\(4\sqrt2 =\sqrt{4^2\cdot2}= \sqrt{16\cdot2} = \sqrt{32}\);
\(2\sqrt{11} =\sqrt{2^2\cdot11}= \sqrt{4\cdot11} = \sqrt{44}\).
В порядке возрастания:
\( \sqrt{24}; \sqrt{27}; \sqrt{29}; \sqrt{32}; \sqrt{44}\).
\(2\sqrt6; 3\sqrt3; \sqrt{29}; 4\sqrt2; 2\sqrt{11}.\)
б) \(6\sqrt2,\;\sqrt{58},\;3\sqrt7,\;2\sqrt{14},\;5\sqrt3.\)
\(6\sqrt2 = \sqrt{36\cdot2}=\sqrt{72}\);
\(3\sqrt7 = \sqrt{9\cdot7}=\sqrt{63}\)
\(2\sqrt{14}=\sqrt{4\cdot14}=\sqrt{56}\);
\(5\sqrt3=\sqrt{25\cdot3}=\sqrt{75}.\)
В порядке возрастания:
\(\sqrt{56}; \sqrt{58}; \sqrt{63}; \sqrt{72}; \sqrt{75}.\)
\(2\sqrt{14}; \sqrt{58}; 3\sqrt7; 6\sqrt2; 5\sqrt3.\)
в) \(-\sqrt{11},\;-2\sqrt5,\;\sqrt2,\;-2\sqrt6,\;-\sqrt{51}.\)
\(-2\sqrt6 = -\sqrt{4\cdot6}=-\sqrt{24}\);
\(-2\sqrt5=-\sqrt{20}\);
В порядке возрастания:
\(-\sqrt{51}; -\sqrt{24}; -\sqrt{20}; -\sqrt{11}; \sqrt2.\)
\(-\sqrt{51}; -2\sqrt6; -2\sqrt5; -\sqrt{11}; \sqrt2.\)
г) \(-\sqrt{83},\;-9\sqrt2,\;-\sqrt{17},\;-5\sqrt8,\;-\frac13\sqrt{18}.\)
\(-9\sqrt2=-\sqrt{9^2\cdot2}=-\sqrt{81\cdot2}=\)
\(=-\sqrt{162}\);
\(-5\sqrt8=-\sqrt{5^2\cdot8}=-\sqrt{25\cdot8}=\)
\(=-\sqrt{200}\);
\(-\frac13\sqrt{18}=-\sqrt{(\frac13)^2\cdot18}=\)
\(=-\sqrt{\frac19\cdot18}=-\sqrt{\frac{18}{9}}=-\sqrt2.\)
В порядке возрастания:
\(-\sqrt{200}; -\sqrt{162}; -\sqrt{83}; -\sqrt{17}; -\sqrt2.\)
\(-5\sqrt8; -9\sqrt2; -\sqrt{83}; -\sqrt{17}; -\frac13\sqrt{18}\).
Пояснения:
Использованные приемы:
- Чтобы внести числовой множитель \(k\) под знак корня, каждый внешний числовой множитель \(k\) возводят в квадрат и умножают на подкоренное выражение:
\( k\sqrt{A} = \sqrt{k^2\cdot A}. \)
- Сравнение корней:
\(\sqrt{a} > \sqrt{b}\), если \(a > b\);
\(-\sqrt{a} > -\sqrt{b}\), если \(a < b\).
Вернуться к содержанию учебника