Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№419 учебника 2023-2025 (стр. 100):
Преобразуйте выражение:
а) \((\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)\);
б) \((\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a})\);
в) \((\sqrt{m} + \sqrt{2})^2\);
г) \((\sqrt{3} - \sqrt{x})^2\);
д) \((5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13)\);
е) \((2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})\);
ж) \((6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32}\);
з) \((\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30\).
№419 учебника 2013-2022 (стр. 100):
В школьной мастерской учащиеся за три дня переплели 144 книги. Сколько книг было переплетено в каждый из трёх дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на 12 книг больше, чем в первый, а в третий — \(\frac{5}{7}\) числа книг, переплетённых в первый и во второй дни вместе?
№419 учебника 2023-2025 (стр. 100):
Вспомните:
№419 учебника 2013-2022 (стр. 100):
Вспомните:
№419 учебника 2023-2025 (стр. 100):
а) \((\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) =\)
\(=(\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1.\)
б) \((\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a}) =\)
\(=(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{a})^2 = x - a.\)
в) \((\sqrt{m} + \sqrt{2})^2 =\)
\(=(\sqrt{m})^2 + 2\cdot\sqrt{m}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 =\)
\(=m + 2\sqrt{2m} + 2.\)
г) \((\sqrt{3} - \sqrt{x})^2 =\)
\(=(\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = \)
\(=3 - 2\sqrt{3x} + x.\)
д) \((5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13) =\)
\(=(5\sqrt{7})^2 - 13^2 = 25\cdot7 - 169 =\)
\(=175 - 169 = 6.\)
е) \((2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) =\)
\(=(2\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2 =4\cdot2 - 9\cdot3= \)
\(= 8 - 27 = -19.\)
ж) \((6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32} =\)
\(=(6^2 - 2\cdot6\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) + 3\sqrt{16\cdot2} =\)
\(=36 - 12\sqrt{2} + 2 + 3\cdot4\sqrt{2} = \)
\(=38 - \cancel{12\sqrt{2}} + \cancel{12\sqrt{2}} = 38.\)
з) \((\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30 =\)
\(=((\sqrt{2})^2+ 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{18} + (\sqrt{18})^2) - 30 =\)
\(=2 + 2\sqrt{36} + 18 - 30 =\)
\(=2\cdot6 - 10 = 12 - 10 = 2.\)
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
– Формула разности квадратов:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
– Формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
– Квадрат произведения:
\(\bigl(k\sqrt{a}\bigr)^2 = k^2a\).
№419 учебника 2013-2022 (стр. 100):
Пусть \(x\) книг переплели в 1-й день, тогда во 2-й день переплели
\(x + 12\) книг, а в 3-й день:
\(\displaystyle \frac{5}{7}\bigl(x + (x+12)\bigr) = \frac{5}{7}(2x+12).\)
Известно, что за три дня переплели 144 книги.
Составим уравнение:
\( x + (x+12) + \frac{5}{7}(2x+12) = 144 \)
\( 2x + 12 + \frac{5}{7}(2x+12) = 144 \) /\(\times7\)
\( 14x + 84 + 5(2x+12) = 1008 \)
| × | 1 | 4 | 4 |
| 7 | |||
| 1 | 0 | 0 | 8 |
\( 14x + 84 + 10x + 60 = 1008 \)
\(24x + 144 = 1008\)
\(24x = 1008 - 144\)
\(24x = 864\)
\(x = \frac{864}{24}\)
\(x = 36\)
|
|
1) \(36\) (кн.) - переплели в 1 - й день.
2) \(36 + 12 = 48\) (кн.) - переплели во 2-й день.
3) \(\frac{5}{7}\cdot(36 + 48)=\frac{5}{\cancel7}\cdot\cancel{84} ^2=\)
\(=5\cdot12 = 60\) (кн.) - переплели в 3-й день.
Ответ: 36 книг; 48 книг; 60 книг.
Пояснения:
1) Обозначение переменной и составление уравнения по условию задачи позволяет свести поиск чисел к решению линейного уравнения.
2) Свойство умножения обеих частей уравнения на общий множитель (здесь на 7) используется для избавления от дробей.
3) После нахождения \(x\) вычисляем остальные значения по выражениям \(x+12\) и \(\frac{5}{7}(2x+12)\).
4) Проверка: \(36 + 48 + 60 = 144\), условие задачи выполнено.
Вернуться к содержанию учебника