Упражнение 592 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3x^{2}+113x-7=0\)

\(a = 3\),  \(b = 113\),  \(c = -7\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=113^{2}-4\cdot3\cdot(-7)=\)

\(=12769+84=12853>0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_1 + x_2 = -\frac{113}{3} < 0\),

\(x_1\cdot x_2 = -\frac{7}{3} < 0\), значит, корни разных знаков.

б) \(5x^{2}-291x-16=0\)

\(a = 5\),  \(b = -291\),  \(c = -16\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-291)^{2}-4\cdot5\cdot(-16)=\)

\(=84 681+ 320=85001>0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_1 + x_2 = \frac{291}{5} > 0\),

\(x_1\cdot x_2 = -\frac{16}{5} < 0\), значит, корни разных знаков.

Пояснения:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня;

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень;

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

По теореме обратной тереме Виета для квадратного уравнения

\(ax^2 + bx + c=0\), корни которого \(x_1\) и \(x_2\):

\( x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)  и  \(x_1x_2=\frac{c}{a}, \)

тогда, если \(x_1x_2<0\), то корни уравнения разных знаков; если \(x_1x_2>0\), то корни уравнения одного знака, который совпадает со знаком суммы \(x_1+x_2\).

\(x^{2}-3x+a=0\)

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c = a\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 65\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_1+x_2 = 3\)  и  \(x_1\cdot x_2 = a\).

Составим систему:

\( \begin{cases} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 65, \\ x_1+x_2 = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (3-x_2)^{2} + x_{2}^{2} = 65, \\ x_1 = 3 - x_2 \end{cases} \)

\((3-x_2)^{2} + x_{2}^{2} = 65\)

\(9 - 6x_2+x_{2}^{2} +x_{2}^{2} - 65=0\)

\(2x_{2}^{2}-6x_2 -56=0\)     \(/ : 2\)

\(x_{2}^{2}-3x_2 -28=0\)

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c = -28\).

\(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-28) =\)

\(=9+112 = 121\),    \(\sqrt D = 11\).

\(x_2 = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_2=\frac{-(-3)+11}{2\cdot1} = \frac{14}{2} = 7\)

\(x_2=\frac{-(-3)-11}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\)

Если \(x_2 = 7\), то \(x_1 = 3 - 7 = -4\).

Если \(x_2 = -4\), то \(x_1 = 3 - (-4) = 7\).

\(x_1\cdot x_2 = a\)

\(a = 7\cdot(-4) = -28\)

Ответ: \(a= -28\).

Пояснения:

Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля

\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:

\(x_1 + x_2=-b\),

\(x_1\cdot x_2=c\).

По условию сумма квадратов корней квадратного уравнения 65, то есть

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 65\).

Составляем систему из уравнений суммы корней и суммы квадратов корней:

\( \begin{cases} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 65, \\ x_1+x_2 = 3 \end{cases} \).

Решаем систему способом подстановки. Из второго уравнения выражаем \(x_1\) и подставляем в первое уравнение выражение для \(x_1\). Получаем квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант и находим два значения для \(x_2\). Возвращаемся в выражение для \(x_1\) и находим два значения для \(x_1\):

если \(x_2 = 7\), то \(x_1 = -4\);

если \(x_2 = -4\), то \(x_1 = 7\).

Через произведение корней находим коэффициент \(a = -28\).