Упражнение 588 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^{2}+x+c=0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c -?\)

\(x_1 - x_2 = 6\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_1+x_2 = -1\)  и  \(x_1\cdot x_2 = c\).

Составим систему:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 6,\\ x_1+x_2 = -1 \end{cases} \) \((+)\)

\( \begin{cases} 2x_1 = 5,\\ x_1+x_2 = -1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac52,\\ x_2 = -1 - x_1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 =2,5,\\ x_2 = -1 - 2,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 =2,5,\\ x_2 = -3,5 \end{cases} \)

\(x_1\cdot x_2 = c\)

\(c=2,5\cdot(-3,5) = -8,75\)

Ответ: \(c= -8,75\).

Пояснения:

Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля

\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:

\(x_1 + x_2=-b\),

\(x_1\cdot x_2=c\).

По условию разность корней квадратного уравнения 6, то есть

\(x_1 - x_2 = 6\).

Составляем систему из уравнений суммы и разности корней:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 6,\\ x_1+x_2 = -1 \end{cases} \)

Решаем систему способом сложения и находим значения корней:

\(x_1 = 2,5,   x_2 = -3,5\).

Через произведение корней находим коэффициент \(c = -8,75\).

\(10x^{2}-33x+c=0\)

\(a=10\),  \(b = -33\), \(c - ?\)

\(x_1=5{,}3\), \(x_2 - ?\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\)

\(5,3 + x_2=\dfrac{33}{10}\)

\(x_2=3,3 - 5,3\)

\(x_2 = -2\)

\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\)

\(5,3\cdot(-2) = \dfrac{c}{10}\)

\(-10,6 = \dfrac{c}{10}\)        \(/\times10\)

\(c=-10,6\cdot10=-106\).

Ответ: \(x_2=-2\), \(c=-106\).

Пояснения:

Квадратное уравнение

\(ax^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля

\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:

\(x_1 + x_2=-\frac{b}{a}\),

\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\).

Из суммы корней находим второй корень \(x_2\), затем через произведение корней находим коэффициент \(c\).