Упражнение 643 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 150

\(\displaystyle \frac1x=ax+b\),

где \(a\) и \(b\) — некоторые числа.

 \(y=\frac{1}{x}\) - гипербола.

\(y=ax+b\) - прямая.

1) Если \(a>0\), \(b\) - любое число.

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=ax+b\) имеет 2 корня.

2) Если \(a =0\), \(b=0\).

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=ax+b=0\) не имеет корней.

3) Если \(a =0\), \(b\neq0\)

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=b\) имеет один корень.

4) Если \(a<0\), \(-2 < b < 2\).

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=ax+b\), не имеет корней.

5) Если \(a<0\), \(b=\pm2\).

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=ax+b\) имеет 1 корень.

6) Если \(a<0\), \(b<-2\) или \(b>2\)

Уравнение \(\displaystyle \frac1x=ax+b\) имеет 2 корня.

Пояснения:

Чтобы графически найти количество корней уравнения, нужно определить количество точек пересечения графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения.

\(y = \frac1x\) - обратная пропорциональность, графиком является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

\(y=ax+b\) - линейная функция, графиком является прямая.

Если \(a>0\), то прямая возрастает;

если \(a<0\), то прямая убывает;

если \(a = 0\), то прямая параллельна оси \(x\).

Коэффициент \(b\) отвечает за точку пересечения с осью \(y\).

\(2x^2-4x+b=0 \)

\( D=(-4)^2-4\cdot 2 \cdot b=16-8b \)

1 случай:

Если \(D>0\), то уравнение имеет 2 корня.

\(16 - 8b > 0\)

\(8b < 16\)

\(b< \frac{16}{8}\)

\(b<2\)

\( x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{16-8b}}{2\cdot 2}= \)

\(=\frac{4\pm \sqrt{4(4-2b)}}{4}=\)

\(=\frac{4\pm 2\sqrt{4-2b}}{4} = \)

\(=\frac{\cancel2(2\pm \sqrt{4-2b})}{\cancel4_2} = \)

\(=\frac{2\pm \sqrt{4-2b}}{2} \), при \(b<2\).

2 случай:

Если \(D=0\), то уравнение имеет 1 корень.

\(16 - 8b = 0\)

\(8b = 16\)

\(b = \frac{16}{8}\)

\(b = 2\)

\(x = -\frac{-4}{2\cdot2} = \frac44 = 1\).

3 случай:

Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

\(16 - 8b < 0\)

\(8b > 16\)

\(b > \frac{16}{8}\)

\(b > 2\)

Ответ: при \(b<2\): \(x_{1,2}==\frac{2\pm \sqrt{4-2b}}{2} \); при \(b=2\): \(x=1\); при \(b>2\): корней нет.

Пояснения:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) зависит от дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). Анализируя знак дискриминанта, получаем три случая: два корня, один корень или отсутствие корней.

При извлечении корня из дискриминанта использовали следующие приемы:

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k (a + b)\);

- свойство корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b\).