Упражнение 652 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\(\displaystyle \frac{720}{x}-\frac{720}{x+10}=1\)  \(/\times x(x+10)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x + 10 \neq0\)

                          \(x \neq -10\)

\(720(x + 10) - 720x = x(x+10)\)

\(\cancel{720x} + 7200 - \cancel{720x} = x^2 +10x\)

\(x^2+10x-7200=0\)

\(a = 1\),  \(b = 10\),  \(c = -7200\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=10^2-4\cdot1\cdot(-7200)=\)

\(=100 + 28 800=28900\),

\(\sqrt D = 170\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-10+170}{2\cdot1}=\frac{160}{2}=80\).

\( x_2 = \frac{-10-170}{2\cdot1}=\frac{-180}{2}=-90\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

Ответ: скорость поезда по расписанию равна \(80\) км/ч.

Пояснения:

Время в пути: \(\,t=\dfrac{S}{v}\). 

Время на перегоне: \(\displaystyle t_1=\frac{720}{x}\) (по расписанию) и \(\displaystyle t_2=\frac{720}{x+10}\) (с увеличенной скоростью). Требование «ликвидировать опоздание на \(1\) ч» означает \(\,t_1-t_2=1\), откуда получено дробное рациональное уравнение:

\(\displaystyle \frac{720}{x}-\frac{720}{x+10}=1\)

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2+10x-7200=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 80\) и \(x_2 = -90\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, скорость поезда по расписанию равна \(80\) км/ч.

а) \( a^2+4a+11=\)

\(=(a^2 + 4a + 4) + 7=\)

\(=(a+2)^2+7 > 0\).

б) \( \frac{x^2-2x+7}{19}=\)

\( \frac{(x^2-2x+1)+6}{19}=\)

\(=\frac{(x-1)^2+6}{19} >0 \).

в) \( m^2-4m+51=\)

\( =(m^2-4m+4)+47=\)

\(=(m-2)^2+47 > 0\).

г) \( \frac{p^2-6p+18}{p^2+1}=\)

\(= \frac{(p^2-6p+9)+9}{p^2+1}=\)

\(=\frac{(p-3)^2+9}{p^2+1} > 0\).

д) \( 2b^2-8b+20=\)

\(=2(b^2-4b+10)=\)

\(=2((b^2-4b+4)+6)=\)

\(=2((b-2)^2+6)= \)

\(=2(b-2)^2+12 > 0\).

е) \( \frac{2c^2+3}{c^2+12c+40}= \)

\( =\frac{2c^2+3}{(c^2+12c+36)+4}= \)

\( =\frac{2c^2+3}{(c+6)^2+4}>0 \).

Пояснения:

Во всех случаях выражения приводятся к виду

«квадрат числа + положительное число»

или дробь, где числитель и знаменатель строго положительны. Это доказывает, что при любом значении переменной значение выражения положительно.

Использованные формулы и приемы:

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k(a+b)\).