Упражнение 655 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

	Всего, р.	Всего акций, шт.	Цена за акцию, р.
Было	\(110000\)	\(x\)	\(\frac{110000}{x}\)
Стало		\(x - 20\)	\(\frac{110000}{x-20}\)

Составим уравнение:

\( \frac{110000}{x-20}-\frac{110000}{x}=50\) \(/\times x(x-20)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x - 20 \neq0\)

                          \(x \neq 20\)

\(110 000x - 110 000(x-20) = 50x(x-20)\)

\(\cancel{110 000 x} - \cancel{110 000x} + 2 200 000 = 50x^2-1000x\)

\(50x^2 - 1000x - 2 200 000 = 0\)   \(/ : 50\)

\(x^2 - 20x - 44 000 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -20\),  \(c = -44 000\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-20)^2 - 4\cdot1\cdot(-44 000)=\)

\(=400+176000=176400\),

\(\sqrt D=420\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-20)+420}{2\cdot1}=\frac{440}{2}=220\).

\( x_1 = \frac{-(-20)-420}{2\cdot1}=\frac{-400}{2}=-200\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

Ответ: предприниматель приобрел \(220\) акций.

---

Пояснения:

Цена одной акции равна отношению общей суммы к числу акций: \(\frac{110000}{x}\). После подорожания на \(50\) р за ту же сумму купили бы \(x-20\) акций, значит новая цена \(\displaystyle \frac{110000}{x-20}\) и она на \(50\) больше прежней, значит, можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\displaystyle \frac{110000}{x-20}-\frac{110000}{x}=50\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 - 20x - 44 000 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 220\) и \(x_2 = -200\).

Отрицательный корень не подходит, так как количество акций не может быть отрицательным числом.

Значит, предприниматель приобрел \(220\) акций.

а) \( (5x+3)^2=5x+3 \)

\( 25x^2+30x+9=5x+15 \)

\( 25x^2+30x+9-5x-15=0 \)

\( 25x^2+25x-6=0 \)

\(a = 25\),  \(b = 25\),  \(c = -6\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=25^2-4\cdot 25\cdot (-6)=\)

\(=625+600=1225\),   \( \sqrt{D}=35 \).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-25+ 35}{2\cdot25}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5} = 0,2\).

\( x_2=\frac{-25- 35}{2\cdot25}=\frac{-60}{50}=\)

\(=-\frac{6}{5} = -1,2 \)

Ответ: \(0,2\);   \(-1,2\).

---

б) \((3x+10)^2=3(x+10)\)

\( 9x^2+60x+100=3x+30 \)

\( 9x^2+60x+100-3x-30 = 0\)

\( 9x^2+57x+70=0 \)

\(a = 9\),  \(b = 57\),  \(c = 70\)

\( D=b^2 - 4ac=57^2-4\cdot 9\cdot 70=\)

\(=3249-2520=729\),    \( \sqrt{D}=27 \).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-57+ 27}{2\cdot9} =\frac{-30}{18}=\)

\(=-\frac{5}{3}=-1\frac23\).

\(x_2=\frac{-57- 27}{2\cdot9} =\frac{-84}{18}=\)

\(=-\frac{14}{3}=-4\frac23 \).

Ответ: \(-1\frac23\);  \(4\frac23 \).

---

в) \((3x-8)^2=3x^2-8x\)

\(9x^2-48x+64=3x^2-8x \)

\(9x^2-48x+64-3x^2+8x=0 \)

\( 6x^2-40x+64=0 \)   \(/ :2\)

\( 3x^2-20x+32=0 \)

\(a = 3\),  \(b = -20\),  \(c = 32\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-20)^2-4\cdot 3\cdot 32=\)

\(=400-384=16 \),    \(\sqrt D = 4\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{20+ 4}{2\cdot3} =\frac{24}{6}=4\).

\(x_2=\frac{20+ 4}{2\cdot3}=\frac{8}{3} = 2\frac23\).

Ответ: \(4\);  \(2\frac23\).

---

г) \((4x+5)^2=5x^2+4x\)

\( 16x^2+40x+25=5x^2+4x \)

\( 16x^2+40x+25-5x^2-4x =0\)

\( 11x^2+36x+25=0 \)

\(a = 11\),  \(b = 36\),  \(c = 25\)

\( D=b^2 - 4ac=36^2-4\cdot 11\cdot 25=\)

\(=1296-1100=196\),    \(\sqrt{D}=14 \).

\( x_1=\frac{-36 + 14}{22}=\frac{-22}{22}=-1\)

\( x_2=\frac{-36 - 14}{22}=\frac{-50}{22}=-\frac{25}{11} =\)

\(=-2\frac{4}{11} \)

Ответ: \(-1\);  \(-2\frac{4}{11} \).

---

д) \((5x+3)^2=5x+3\)

\( (5x+3)^2=25x^2+30x+9 \)

\( 25x^2+30x+9=5x+3 \)

\( 25x^2+30x+9-5x-3=0 \)

\( 25x^2+25x+6=0 \)

\(a = 25\),  \(b = 25\),  \(c = 6\)

\( D=25^2-4\cdot 25\cdot 6=\)

\(=625-600=25 \),    \(\sqrt D = 5\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\frac{-25+ 5}{2\cdot25}=\frac{-20}{50}=\)

\(=-\frac{2}{5}=0,4\).

\(x_2=\frac{-25 - 5}{2\cdot25}=\frac{-30}{50}=\)

\(=-\frac{3}{5}=0,6 \).

Ответ: \(0,4\),  \(0,6\).

---

е) \((5x+3)^2=(3x+5)^2\)

\(25x^2 +30x + 9 = 9x^2 + 30x + 25\)

\(25x^2 + \cancel{30x} + 9 - 9x^2 - \cancel{30x} - 25 = 0\)

\(16x^2 -16 = 0\)

\(16x^2 = 16\)

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm\sqrt 1\)

\( x_1=1\)   и   \( x_2=-1 \)

Ответ: \( x_1=1\) и \( x_2=-1 \).

---

ж) \((4x+5)^2=4(x+5)^2\)

\(16x^2 + 40x + 25 = 4(x^2 + 10x + 25)\)

\(16x^2 + 40x + 25 = 4x^2 + 40x + 100\)

\(16x^2 + \cancel{40x} + 25 - 4x^2 - \cancel{40x} - 100=0\)

\(12x^2 - 75 = 0\)

\(12x^2 = 75\)

\(x^2 = \frac{75}{12}\)

\(x^2 = 6,25\)

\(x = \pm\sqrt{6,25}\)

\(x_1 = -2,5\)    и   \(x_2 = 2,5\)

Ответ: \(-2,5\);   \(2,5\).

---

з) \((2x+10)^2=4(x+5)^2\)

\(4x^2 + 40x + 100 = 4(x^2  + 10x + 25)\)

\(4x^2 + 40x + 100 = 4x^2 + 40x + 100\)

\(4x^2 + 40x + 100 - 4x^2 + 40x - 100 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Ответ: \(x\) - любое число.

---

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

В пунктах е) и ж) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).

В пункте з) в результате преобразований получилось верное числовое равенство, не зависящее от переменной, это говорит о том, что решением уравнения может быть любое число.