Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№672 учебника 2023-2025 (стр. 157):
Найдите три каких-нибудь решения уравнения:
а) \(x-2y=8;\)
б) \(x+0y=10;\)
в) \(x-xy=12;\)
г) \((x+y)(y-2)=0.\)
№672 учебника 2013-2022 (стр. 153):
Найдите \(b\) и решите уравнение:
а) \(2x^2 + bx - 10 = 0\), если оно имеет корень \(5\);
б) \(3x^2 + bx + 24 = 0\), если оно имеет корень \(3\);
в) \((b-1)x^2 - (b+1)x = 72\), если оно имеет корень \(3\);
г) \((b-5)x^2 - (b-2)x + b = 0\), если оно имеет корень \(\frac{1}{2}\).
№672 учебника 2023-2025 (стр. 157):
Вспомните:
№672 учебника 2013-2022 (стр. 153):
Вспомните:
№672 учебника 2023-2025 (стр. 157):
а) \(x-2y=8\)
\(x=8+2y\)
Если \(y=0\), то
\(x=8+2\cdot0=8+0=8\).
Если \(y=1\), то
\(x=8 + 2\cdot1= 8 + 2=10\)
Если \(y=-1\), то
\(x=8 + 2\cdot(-1) = 8 - 2=6\)
Ответ: \((8;\,0)\); \((10;\,1)\); \((6;\,-1)\).
б) \(x+0y=10\)
\(x=10 - 0y = 10\).
Если \(y = 0\), то \(x = 10\).
Если \(y = 1\), то \(x = 10\).
Если \(y = -2\), то \(x = 10\).
Ответ: \((10;\,0),\ (10;\,1),\ (10;\,-2).\)
в) \(x-xy=12\)
\(x(1-y)=12 \)
\(1 - y = \dfrac{12}{x}\)
\(y=1-\dfrac{12}{x}\)
Если \(x=12\), то
\(y=1 - \frac{12}{12}=1-1=0\).
Если \(x=6\), то
\(y=1 - \frac{12}{6}=1-2=-1\).
Если \(x=4\), то
\(y=1 - \frac{12}{4}=1-3=-2\).
Ответ: \((12;\,0)\); \((6;\,-1)\); \((4;\,-2)\).
г) \((x+y)(y-2)=0\)
\(x + y= 0\) или \(y-2 = 0\)
\(x = -y\) \(y = 2\)
Если \(y = 2\), то \(x\) может быть любым: \((10; 2)\).
Если \(y = 1\), то \(x = -1\)
Если \(y = -5\), то \(x = 5\)
Ответ: \((10;\,2)\); \((-1;\,1)\); \((5;\,-5)\).
Пояснения:
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
В каждом случае, используя свойства уравнений, выражаем одну переменную через другую. Затем, подставляя произвольные значения одной переменной, вычисляем другую переменную.
В пункте в) учитываем то, что \(x\neq0\).
В пункте г) учитываем то, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
№672 учебника 2013-2022 (стр. 153):
а) \(2x^2 + bx - 10 = 0\), \(x_1 = 5\)
\(2 \cdot 25 + 5b - 10 = 0 \)
\(50 + 5b - 10 = 0\)
\(5b + 40 = 0 \)
\(5b = -40\)
\(b= \frac{-40}{5}\)
\(b = -8\)
\(2x^2 - 8x - 10 = 0\) \( /: 2\)
\(x^2 - 4x - 5 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -5\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\( = (-4)^2 - 4\cdot1 \cdot (-5) =\)
\(=16 + 20 = 36\), \(\sqrt D = 6\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).
\(x_1 = \frac{4 + 6}{2\cdot1} =\frac{10}{2}= 5\).
\( x_2 =\frac{4 - 6}{2\cdot1} =\frac{-2}{2}= -1\).
Ответ: \(b = -8\); \(x_2=-1\);
б) \(3x^2 + bx + 24 = 0\), \(x_1=3\)
\(3 \cdot 9 + 3b + 24 = 0 \)
\(27 + 3b + 24 = 0 \)
\(3b + 51 = 0 \)
\(3b = -51\)
\(b = \frac{-51}{3}\)
\(b = -17\)
\(3x^2 - 17x + 24 = 0\)
\(a = 3\), \(b = -17\), \(c = 24\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\( = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 =\)
\(=289 - 288 = 1\), \(\sqrt D = 1\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).
\(x_1 = \frac{17 + 1}{2\cdot3} =\frac{18}{6}= 3\)
\( x_2 = \frac{17 - 1}{2\cdot3}= \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2\frac23\)
Ответ: \(b = -17\); \(x_2 = 2\frac23\).
в) \((b-1)x^2 - (b+1)x = 72\),
\(x_1=3\)
\((b-1)x^2 - (b+1)x - 72 = 0\)
\((b-1)\cdot 9 - (b+1)\cdot 3 - 72 = 0\)
\(9b - 9 - 3b - 3 - 72 = 0\)
\(6b - 84 = 0 \)
\(6b = 84\)
\(b = \frac{84}{6}\)
\(b = 14\)
\(13x^2 - 15x - 72 = 0\)
\(a = 13\), \(b = -15\), \(c = -72\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\( = (-15)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-72) =\)
\(=225 + 3744 = 3969\),
\(\sqrt{3969} = 63\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).
\(x_1 = \frac{-(-15) + 63}{2\cdot13} =\frac{78}{26}= 3\).
\(x_2 =\frac{-(-15) - 63}{2\cdot13}= \frac{-48}{26} =\)
\(=-\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13}\).
Ответ: \(b = 14\); \(x_2 = -1\frac{11}{13}\).
г) \((b-5)x^2 - (b-2)x + b = 0\),
\(x_1 = \frac{1}{2}\).
\((b-5)x^2 - (b-2)x + b = 0\)
\((b-5)\cdot \frac{1}{4} - (b-2)\cdot \frac{1}{2} + b = 0\) \(/\times4\)
\(b - 5) - 2(b-2) + 4b = 0\)
\(b-5-2b+4+4b=0\)
\(3b-1=0\)
\(3b = 1\)
\(b = \frac{1}{3}\)
\(\left(\frac{1}{3} - 5\right)x^2 - \left(\frac{1}{3} - 2\right)x + \frac{1}{3} = 0\)
\(-4\frac{2}{3}x^2 + 1\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = 0\)
\(-\frac{14}{3}x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{1}{3} = 0\) \(/\times(-3)\)
\(14x^2 - 5x - 1 = 0\)
\(a = 14\), \(b = -5\), \(c = -1\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\( = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) =\)
\(=25 + 56 = 81\), \(\sqrt D = 9\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).
\(x_1 = \frac{5 + 9}{2\cdot14} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}\)
\(x_2 = \frac{5 - 9}{2\cdot14}= \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}\)
Ответ: \(b = \frac{1}{3}\); \(x_2 = -\frac{1}{7}\).
Пояснения:
В каждом уравнении мы использовали то, что один из корней известен. Подставив этот корень, находим значение параметра \(b\).
Затем подставляем найденное \(b\) в исходное уравнение, решаем квадратное уравнение через дискриминант и получаем оба корня.
Вернуться к содержанию учебника