Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№671 учебника 2023-2025 (стр. 157):
Является ли пара чисел \((-1; 3)\) решением уравнения:
а) \(x^{2}-y+2=0\);
б) \(xy+y=6\);
в) \(x^{2}+y^{2}=10\);
г) \(x^{2}-y^{2}+8=0\)?
№671 учебника 2013-2022 (стр. 153):
Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а) \(x^2 - 5\sqrt{2}x + 12 = 0\);
б) \(x^2 + 2\sqrt{3}x - 72 = 0\);
в) \(y^2 - 6y + 7 = 0\);
г) \(p^2 - 10p + 7 = 0\).
№671 учебника 2023-2025 (стр. 157):
Вспомните:
№671 учебника 2013-2022 (стр. 153):
Вспомните:
№671 учебника 2023-2025 (стр. 157):
а) \(x^{2}-y+2=0\)
\((-1; 3)\) - является решением уравнения.
\((-1)^{2}-3+2=0\)
\(1-3+2=0\)
\(0 = 0\) - верно.
Ответ: да, является.
б) \(xy+y=6\)
\((-1; 3)\) - не является решением уравнения.
\((-1)\cdot3+3=6\)
\(-3+3=6\)
\(0=6\) - неверно.
Ответ: нет, не является.
в) \(x^{2}+y^{2}=10\)
\((-1; 3)\) - является решением уравнения.
\((-1)^{2}+3^{2}=10\)
\(1+9=10\)
\(10 = 10\)
Ответ: да, является.
г) \(x^{2}-y^{2}+8=0\)
\((-1; 3)\) - является решением уравнения.
\((-1)^{2}-3^{2}+8=0\)
\(1-9+8=0\)
\(0=0\)
Ответ: да, является.
Пояснения:
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
№671 учебника 2013-2022 (стр. 153):
а) \(x^2 - 5\sqrt{2}x + 12 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 5\sqrt{2}\), \(c = 12\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\( = ( -5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = \)
\(=25\cdot 2 - 48 =50 - 48 = 2\),
\(\sqrt D = \sqrt2\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).
\(x_1 = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}= \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\),
\(x_2 = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}= \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\),
Проверка по теореме Виета:
1) \(x_1 + x_2 = 5\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)
\( 5\sqrt{2}= 5\sqrt{2}\) — верно.
2) \(x_1 \cdot x_2 = 12\)
\(3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 12\)
\(6\cdot2 = 12\)
\(12 = 12\) — верно.
Ответ: \(3\sqrt2\); \(2\sqrt2\).
б) \(x^2 + 2\sqrt{3}x - 72 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 2\sqrt{3}\), \(c = -72\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\(= (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) =\)
\(=4\cdot3 +288 =12 + 288 = 300\),
\(\sqrt D=\sqrt{300} =\sqrt{100\cdot3}= 10\sqrt{3}.\)
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).
\(x_1 = \frac{-2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2}= \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).
\(x_2 = \frac{-2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2}= \frac{-12\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}\).
Проверка по теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -2\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -2\sqrt{3}\)
\(-2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}\) — верно.
\(x_1 \cdot x_2 =-72\)
\(4\sqrt{3} \cdot (-6\sqrt{3}) = -72\)
\(-24\cdot3= -72\)
\(-72 = - 72\) — верно.
Ответ: \(4\sqrt{3}\); \(-6\sqrt{3}\).
в) \(y^2 - 6y + 7 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 7\)
\( D=b^2 - 4ac= (-6)^2 - 4 \cdot 7 =\)
\(=36 - 28 = 8\),
\(\sqrt D = \sqrt{8} = \sqrt{4\cdot2} = 2\sqrt{2}\).
\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).
\(y_1 = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{\cancel2(3 + \sqrt{2})}{\cancel2}=\)
\(=3 + \sqrt{2}.\)
\(y_2 = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{\cancel2(3 - \sqrt{2})}{\cancel2}=\)
\(= 3 - \sqrt{2}.\)
Проверка по теореме Виета:
\(y_1 + y_2 = 6\)
\((3+\sqrt{2}) + (3-\sqrt{2}) = 6\)
\(3+\cancel{\sqrt{2}} + 3-\cancel{\sqrt{2}} = 6\)
\(6=6\) — верно.
\(y_1 \cdot y_2 =7\)
\((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) = 7\)
\(3^2 - (\sqrt2)^2 = 7\)
\(9 - 2 = 7\) — верно.
Ответ: \(3+\sqrt{2}\); \(3-\sqrt{2}\).
г) \(p^2 - 10p + 7 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 7\)
\( D=b^2 - 4ac= (-10)^2 - 4 \cdot 7 = \)
\(=100 - 28 = 72\).
\(\sqrt D = \sqrt{72} =\sqrt{36\cdot2}= 6\sqrt{2}.\)
\(p_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\(p_1 = \frac{10 + 6\sqrt{2}}{2}=\frac{\cancel2(5 + 3\sqrt{2})}{\cancel2} =\)
\(=5 + 3\sqrt{2}.\)
\(p_2 = \frac{10 - 6\sqrt{2}}{2}=\frac{\cancel2(5 - 3\sqrt{2})}{\cancel2} =\)
\(=5 - 3\sqrt{2}.\)
Проверка по теореме Виета:
\(p_1 + p_2 =10\)
\((5+3\sqrt{2}) + (5-3\sqrt{2}) = 10\)
\(5+\cancel{3\sqrt{2}} + 5-\cancel{3\sqrt{2}} = 10\)
\(10 = 10\) — верно.
\(p_1 \cdot p_2 =7\)
\((5+3\sqrt{2})(5-3\sqrt{2}) =7\)
\(5^2 - (3\sqrt2)^2 = 7\)
\(25 - 9\cdot2 = 7\)
\(25 - 18 = 7\)
\(25 - 18 = 7\)
\(7 = 7\) — верно.
Пояснения:
Каждое квадратное уравнение решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). При положительном дискриминанте уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\)
Теорема Виета утверждает: если уравнение имеет вид \(x^2 + bx + c = 0\), то его корни \(x_1\) и \(x_2\) удовлетворяют:
\(x_1 + x_2 = -b, \quad x_1 \cdot x_2 = c.\)
Во всех четырёх уравнениях найденные корни удовлетворяют этим соотношениям.
Приемы и формулы, использованные при вычислениях:
- Свойства степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
- Свойства корня:
\((\sqrt a)^2 = a\);
\(\sqrt{ab} = \sqrt a\cdot \sqrt b\).
Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
- Подобные слагаемые:
\(a\sqrt c \pm b\sqrt c = (a \pm b)\sqrt c\).
Вернуться к содержанию учебника