Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№670 учебника 2023-2025 (стр. 155):
Составьте квадратное уравнение, зная его корни:
а) \(\dfrac{\sqrt3-1}{2}\) и \(\dfrac{\sqrt3+1}{2}\);
б) \(2-\sqrt3\) и \(\dfrac{1}{\,2-\sqrt3\,}\).
№670 учебника 2013-2022 (стр. 153):
Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа.
№670 учебника 2023-2025 (стр. 155):
Вспомните:
№670 учебника 2013-2022 (стр. 153):
Вспомните:
№670 учебника 2023-2025 (стр. 155):
а) \(x^2 + bx + c = 0\)
Корни уравнения:
\(x_1=\dfrac{\sqrt3-1}{2}\) и \(x_2=\dfrac{\sqrt3+1}{2}\).
1) \(x_1 + x_2 = -b\)
\(\frac{\sqrt3-1}{2}+\frac{\sqrt3+1}{2}=\)
\(=\frac{\sqrt3-1+\sqrt3+1}{2}=\)
\(=\frac{\cancel2\sqrt3}{\cancel2}=\sqrt3. \)
\(-b = \sqrt3. \)
\(b = -\sqrt3. \)
2) \(x_1\cdot x_2 = c\)
\(\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot\frac{\sqrt3+1}{2} =\)
\(=\frac{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}{4} =\)
\(=\frac{(\sqrt3)^2-1^2}{4}=\frac{3-1}{4}=\)
\(=\frac24=\frac12 = 0,5\)
\(c = 0,5\).
3) \(x^2 -\sqrt 3x + 0,5=0\) \(/\times2\)
\(2x^2 -2\sqrt 3x + 1=0\)
Ответ: \(2x^2 -2\sqrt 3x + 1=0\).
б) \(x^2 + bx + c = 0\)
Корни уравнения:
\(x_1=2-\sqrt3\) и \(x_2=\dfrac{1}{\,2-\sqrt3\,}\).
1) \(x_1 + x_2 = -b\)
\((2-\sqrt3) ^{\color{blue}{\backslash2-\sqrt3}} +\frac{1}{2-\sqrt3} =\)
\(=\frac{(2-\sqrt3)^2+1}{2-\sqrt3} = \)
\(=\frac{2^2-4\sqrt3+(\sqrt3)^2+1}{2-\sqrt3} = \)
\(=\frac{4-4\sqrt3+3+1}{2-\sqrt3} = \)
\(=\frac{8-4\sqrt3}{2-\sqrt3} =\frac{4\cancel{(2-\sqrt3)}}{\cancel{2-\sqrt3}} = 4\)
\(-b=4\)
\(b = -4\)
2) \(x_1\cdot x_2 = c\)
\((2-\sqrt3)\cdot\frac{1}{2-\sqrt3}=1. \)
\(c=1\)
3) \(x^2-4x+1=0. \)
Ответ: \(x^2-4x+1=0. \)
Пояснения:
Использованные приемы:
1) Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля
\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:
\(x_1 + x_2=-b\),
\(x_1\cdot x_2=c\).
2) Разность квадратов:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
3) Квадрат разности:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\).
4) Свойство арифметического корня:
\((\sqrt a)^2 = a\).
5) Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число.
№670 учебника 2013-2022 (стр. 153):
Пусть первое нечётное число равно \(2n+1\). Тогда следующее нечётное число равно \(2n+3\).
Составим уравнение:
\((2n+3)^3 - (2n+1)^3 = 866\)
\((8n^3 + 36n^2 + 54n + 27) - (8n^3 + 12n^2 + 6n + 1) = 866\)
\(8n^3 + 36n^2 + 54n + 27 - 8n^3 - 12n^2 - 6n - 1 - 866=0\)
\(24n^2 + 48n - 840 = 0\) \(/ : 24\)
\(n^2 + 2n - 35 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -35\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\(= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) =\)
\(=(4 + 140 = 144\), \(\sqrt D = 12\).
\(n_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\(n_1 = \frac{-2 + 12}{2\cdot1}= \frac{10}{2} = 5\).
\(n_2 = \frac{-2 - 12}{2\cdot1}= \frac{-14}{2} = -7\) - не удовлетворяет условию.
\(2\cdot5 + 1 = 10+1 = 11\) - первое число.
\(2\cdot5 + 3 = 10+3 = 13\) - второе число.
Ответ: числа \(11\) и \(13\).
Пояснения:
Так как нечётные числа можно записать в виде \(2n+1\), то следующее нечётное число будет \(2n+3\).
По разности кубов этих чисел составляем уравнение:
\((2n+3)^3 - (2n+1)^3 = 866\).
По формуле куба суммы раскрыли скобки, перенесли число из правой части уравнения в левую с противоположным знаком, привели подобные, получили квадратное уравнение относительно \(n\). Решив его через дискриминант, нашли два корня, но только положительный (\(n=5\)) подходит, так как речь идёт о натуральных числах.
Таким образом, искомые числа: \(11\) и \(13\).
Вернуться к содержанию учебника