Упражнение 665 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Средняя скорость на всем пути \(12\) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{S+S}{\frac{S}{x} ^{\color{blue}{\backslash x+5}} +\frac{S}{x+5} ^{\color{blue}{\backslash x}} }=12 \)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x+5 \neq0\)

                          \(x \neq -5\)

\( \frac{2S}{\frac{S(x+5)+Sx}{x(x+5)} }=12 \)

\( \frac{2S}{\frac{S(x+5+x)}{x(x+5)} }=12 \)

\( \frac{2S}{\frac{S(2x+5)}{x(x+5)} }=12 \)

\(2S : \frac{S(2x+5)}{x(x+5)} = 12\)

\(2\cancel S \cdot \frac{x(x+5)}{\cancel S(2x+5)} = 12\)

\(\frac{2x(x+5)}{2x+5} = 12\)    \(/\times (2x+5)\)

\(2x(x+5) = 12(2x + 5)\)

\(2x^2+10x=24x+60 \)

\(2x^2+10x-24x-60 =0\)

\(2x^2-14x-60=0 \)    \( / : 2\)

\(x^2-7x-30=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = -30\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-7)^2 - 4\cdot1\cdot(-30)=\)

\(=49 +120 = 169\),   \(\sqrt D = 13\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-7)+13}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\).

\( x_2 = \frac{-(-7)-13}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: первоначальная скорость велосипедиста \(10\) км/ч.

Пояснения:

Чтобы найти среднюю скорость движения, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения.

Средняя скорость при равных путях \(s\) туда и обратно:

\( v_{\text{ср}}=\frac{2s}{\frac{s}{x}+\frac{s}{x+5}}=\frac{2x(x+5)}{2x+5}. \)

Учитывая то, что \(v_{\text{ср}}=12\) получим дробное рациональное уравнение:

\(\frac{2x(x+5)}{2x+5} = 12\) .

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2-7x-30=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 10\) и \(x_2 = -3\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, первоначальная скорость велосипедиста \(10\) км/ч.

Пусть ширина бордюра равна \(x\) м.

Тогда размеры клумбы:

\((4,5 - 2x)\) м и \( (2,5 - 2x)\) м.

Площадь всего прямоугольника:

\(4,5 \cdot 2,5 = 11,25\) (м²).

Составим уравнение:

 \( (4,5 - 2x)(2,5 - 2x) + 3,25 = 11,25\)

 \((4,5 - 2x)(2,5 - 2x) =11,25 - 3,25\)

\(4,5 \cdot 2,5 - 4,5 \cdot 2x - 2x \cdot 2,5 + 4x^2 = 8\)

\(11,25 - 9x - 5x + 4x^2 - 8=0\)

\(4x^2 - 14x + 3,25 = 0\)

\(a = 4\),  \(b = -14\),  \(c = 3,25\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\( = (-14)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3,25 =\)

\(=196 - 52 = 144\),    \(\sqrt D = 12\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-(-14) + 12}{2\cdot4} = \frac{26}{8} = 3,25\) - не удовлетворяет условию.

\(x_2 = \frac{-(-14) - 12}{2\cdot4} = \frac{2}{8}=\frac14 = 0,25\).

Ответ: ширина бордюра равна \(0,25\) м.

Пояснения:

Использовали формулу площади прямоугольника: \[S = a \cdot b.\]

В задаче даны размеры прямоугольника с бордюром: длина - \(4,5\) м и ширина \(2,5\) м, значит его площадь:

\(4,5 \cdot 2,5 = 11,25 \, \text{м}^2\).

При этом площадь прямоугольника можно найти как сумму клумбы и бордюра. Если ширина бордюра равна \(x\) м, то размеры клумбы будут уменьшены на \(2x\) м по длине и ширине, то есть

\((4,5 - 2x)\) м и \((2,5 - 2x)\) м.

Тогда можем составить уравнение:

 \( (4,5 - 2x)(2,5 - 2x) + 3,25 = 11,25\).

Выполнив преобразования, получили квадратное уравнение. Его решение дало два значения: \(3,25\) и \(0,25\). Значение, равное \(3,25\), больше ширины прямоугольника (бордюра вместе с клумбой), поэтому оно не подходит, значит, ширина бордюра равна \(0,25\) м.