Упражнение 661 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\(\frac{30}{x}\cdot100 = \frac{30}{x+100}\cdot100+1\)  \(/\times x(x + 100)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x + 100 \neq0\)

                          \(x \neq -100\)

\(3000(x+100) = 3000x + x(x + 100)\)

\(3000x + 300 000 = 3000 x + x^2 +100x\)

\( x^2 +\cancel{3000x} - \cancel{3000x}  + 100x - 300 000 = 0\)

\( x^2 + 100x - 300 000 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 100\),  \(c =-300000\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=100^2 - 4\cdot1\cdot(-300000)=\)

\(=10 000 + 1 200 000= 1 210 000\),

\(\sqrt D = 1100\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-100+1100}{2\cdot1}=\frac{1000}{2}=500\).

\( x_2 = \frac{-100-1100}{2\cdot1}=\frac{-1200}{2}=-600\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: первоначальная масса раствора равна \(500\) г.

Пояснения:

Концентрация в соли в растворе равна \(\frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{раствора}}}\cdot100\%.\) При добавлении воды масса соли не меняется, меняется только масса раствора.

После добавления воды в раствор, концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Значит, можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{30}{x}\cdot100 = \frac{30}{x+100}\cdot100+1\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\( x^2 + 100x - 300 000 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 500\) и \(x_2 = -600\).

Отрицательный корень не подходит, так как масса не может быть отрицательным числом.

Значит, первоначальная масса раствора равна \(500\) г.

Пусть три последовательных целых числа:

\( 2n,\; 2n+2,\; 2n+4 \)

Составим уравнение:

\( (2n)^2+(2n+2)^2=(2n+4)^2 \)

\( 4n^2+4n^2+8n+4=4n^2+16n+16 \)

\( 8n^2+8n+4=4n^2+16n+16 \)

\( 8n^2+8n+4-4n^2-16n-16=0 \)

\( 4n^2-8n-12=0 \)   \(/ :4\)

\( n^2-2n-3=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=\)

\(=4+12=16 \),   \(\sqrt D = 4\).

\(n_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( n_1=\frac{-(-2)+4}{2\cdot1}=\frac62=3 \)

\( n_2=\frac{-(-2)-4}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1 \)

1) Если \(n = 3\), то

\(2n = 2\cdot3 = 6\).

\(2n +2 = 6 + 2 = 8\).

\(2n+4 = 6 + 4 = 10\).

2) Если \(n = -1\), то

\(2n = 2\cdot(-1) = -2\).

\(2n +2 = -2 + 2 = 0\).

\(2n+4 = -2 + 4 = 2\).

Ответ: последовательности: \(6, 8, 10\) или \(-2, 0, 2\).

Пояснения:

Вводим обозначения для трех последовательных четных чисел и составляем уравнение. Раскрываем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

\((a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a -b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Затем приводим подобные и получаем полное квадратное уравнение, которое имеет два корня, поэтому возможны два случая из трех последовательных чётных чисел, таких что, сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.