Упражнение 826 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\(\frac{x-6}{x}\cdot100 - \frac{x-6}{x + 13}\cdot100=26\)  \(/\times x(x+13)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 13\neq 0\)

                            \(x\neq-13\)

\(100(x-6)(x+13) - 100x(x-6)=26x(x+13)\)

\(100(x^2+13x -6x-78) - 100x^2 + 600 x = 26x^2 + 338x\)

\(\cancel{100x^2} + 1300x - \cancel{600x} - 7800 - \cancel{100x^2} + \cancel{600x} -26x^2 -338x = 0\)

\(-26x^2 + 962x - 7800 = 0\) \(/ : (-26)\)

\(x^2 - 37x + 300 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -37\),  \(c = 300\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-37)^2 - 4\cdot 1 \cdot 300 =\)

\(=1369 - 1200 = 169\),    \(\sqrt D = 13\).

\(x_1 = \frac{-(-37) + 13}{2\cdot1} = \frac{50}{2} = 25\).

\(x_2 = \frac{-(-37) - 13}{2\cdot1} = \frac{24}{2} = 12\).

Ответ: первоначальная масса сплава могла быть \(12\) кг или \(25\) кг.

Пояснения:

Обозначили массу сплава за \(x\). Выразили долю меди до добавления цинка и после. Учитывая условие о том, что доля меди уменьшилась на 26%, составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{x-6}{x}\cdot100 - \frac{x-6}{x + 13}\cdot100=26\) 

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(25\) и \(12\). Оба корня удовлетворяют условию задачи. Значит, первоначальная масса сплава могла быть \(12\) кг или \(25\) кг.

\((-3,9; 2)\) и \((-4,3; 1)\)

\((-3,9; 2) \cap (-4,3; 1) = (-3,9; 1)\).

Целые числа, принадлежащие \((-3,9; 1)\):

\(-3, -2, -1, 0\).

Ответ: 2. четыре числа.

Пояснения:

Пересечение двух промежутков — это множество чисел, которые принадлежат и первому, и второму промежутку одновременно.