Упражнение 831 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Обозначим производительность первой машины за \(x\). Тогда производительность второй машины равна: \(\frac{1}{6} - x\). Если первая машина выполняет половину работы, то это займёт: \(\frac{0,5}{x} = \frac{1}{2x}\) мин. Если вторую половину выполняет вторая машина, то это займёт:

\(\frac{0,5}{\tfrac{1}{6}-x} = \frac{1}{2\left(\frac{1}{6}-x\right)}\) мин.

Известно, что общее время равно 12,5 минут:

Составим уравнение:

\(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2\left(\tfrac{1}{6}-x\right)} = 12,5\)

\(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2\left(\tfrac{1}{6}-x\right)} = \frac{125}{10}\)

\(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2\left(\tfrac{1}{6}-x\right)} = \frac{25}{2}\) \(/\times2x(\frac16 -x)\)

\(\frac16 - \cancel x + \cancel x = 25x(\frac16 -x)\)

\(\frac16 = \frac{25x}{6}-25x^2\)   \(/\times6\)

\(1=25x-150x^2\)

\(150x^2 -25x+1=0\)

\(a = 150\),  \(b = -25\),  \(c = 1\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-25)^2 - 4\cdot150 \cdot1 =\)

\(=625 - 600 = 25\),   \(\sqrt D = 5\).

\(x_1 = \frac{-(-25) + 5}{2\cdot150} = \frac{30}{300} = \frac{1}{10}\).

\(x_2 = \frac{-(-25) - 5}{2\cdot150} = \frac{20}{300} = \frac{1}{15} \).

1) Если производительность первой машины \(\frac{1}{10}\), то есть ее время работы \(10\) мин, то

\(\frac{1}{6} ^{\color{blue}{\backslash5}} - \frac{1}{10} ^{\color{blue}{\backslash3}} =\frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30}=\frac{1}{15} \) - производительность второй машины, то есть ее время работы \(15\) мин.

2) Если производительность первой машины \(\frac{1}{15}\), то есть ее время работы \(15\) мин, то

\(\frac{1}{6} ^{\color{blue}{\backslash5}} - \frac{1}{15} ^{\color{blue}{\backslash2}} =\frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30}=\frac{1}{10} \) - производительность второй машины, то есть ее время работы \(10\) мин.

Ответ: 10 мин и 15 мин.

Пояснения:

Переменную \(x\) выбрали как производительность первой машины. Тогда производительность второй машины выражается через \(x\) как \(\frac{1}{6} - x\), так как вместе они делают \(\frac{1}{6}\) работы за минуту. Время работы считается как «доля работы деленная на производительность».

Известно, что если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. Поэтому можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2\left(\tfrac{1}{6}-x\right)} = 12,5\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как выполнили преобразования и домножили обе части уравнения на общий знаменатель, получили полное квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D=b^2-4ac > 0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(x_1 = \frac{1}{10}\) и \(x_2 = \frac{1}{15}\). Оба корня удовлетворяют условию задачи.

Если производительность первой машины \(\frac{1}{10}\), то есть ее время работы \(10\) мин, то производительность второй машины \(\frac{1}{15}\), то есть ее время работы \(15\) мин.

Если производительность первой машины \(\frac{1}{15}\), то есть ее время работы \(15\) мин, то производительность второй машины \(\frac{1}{10}\), то есть ее время работы \(10\) мин.

\(20\) мин = \(\frac{20}{60} ч = \frac13\) ч

Составим уравнение:

\(\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{x+5} = \dfrac{1}{3}\) \(/\times 3x(x+5)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)  и  \(x + 5 \neq 0\)

                          \(x \neq -5\)

\(360(x + 5) -360x = x(x + 5)\)

\(\cancel{360x} + 1800 - \cancel{360x} = x^2 +5x\)

\(x^2 + 5x - 1800 = 0\).

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c = -1800\)

\(D =b^2 - 4ac=\)

\(=5^2 - 4 \cdot1 \cdot (-1800) =\)

\(=25 + 7200 = 7225\),     \(\sqrt{D} = 85\).

\(x_1 = \dfrac{-5 + 85}{2\cdot1} = \dfrac{80}{2} = 40\).

\(x_2 = \dfrac{-5 - 85}{2\cdot1} = \dfrac{-90}{2} = -45\) - не удовлетворяет условию.

1) \(40\) (км/ч) - скорость первого поезда.

2) \(40 + 5 = 45\) (км/ч) - скорость второго поезда.

Ответ: \(40\) км/ч и \(45\) км/ч.

Пояснения:

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.

Путь поезда проезжают одинаковый 120 км. Скорость первого поезда обозначили \(x\) км/ч, а скорость второго поезда \(x+5\) км/ч, тогда время в пути первого поезда \(\frac{120}{x}\) ч, а время в пути второго поезда \(\frac{120}{x+5}\). На обратный путь пассажир на втором поезде затратил на 20 мин меньше. Учитывая то, что \(20\) мин = \(\frac13\) ч, составили дробное рациональное уравнение:

\(\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{x+5} = \dfrac{1}{3}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D\) больше нуля, поэтому уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Получили два значения \(40\) и \(-45\). Но отрицательное значение не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом. Следовательно, скорость первого поезда равна \(40\) км/ч. Скорость второго поезда на \(5\) км/ч больше, чем первого, значит, скорость второго поезда равна \(45\) км/ч.