Упражнение 980 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} 2x - 1 < 1,4 - x, \\ 3x - 2 > x - 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x + x < 1,4 + 1, \\ 3x - x > -4 + 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x < 2,4,   / : 3 \\ 2x > -2  / : 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 0,8, \\ x > -1 \end{cases}\)

Ответ: \((-1; 0,8)\).

б) \(\begin{cases} 5x + 6 \leq x, \\ 3x + 12 \leq x + 17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5x - x \leq -6, \\ 3x - x \leq 17 - 12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x \leq -6,   / : 4 \\ 2x \leq 5  / : 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq -\frac{6}{4}, \\ x \leq \frac{5}{2} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq -1,5, \\ x \leq 2,5 \end{cases}\)

Ответ: \((- \infty; -1,5]\).

в) \(\begin{cases} 17x - 2 >12x - 1, \\ 3 - 9x < 1 - x \end{cases}\)

\(\begin{cases} 17x - 12x > -1 + 2, \\ -9x + x < 1 - 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5x > 1,  / : 5 \\ -8x < -2  / : (-8) \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > \frac15, \\ x > \frac28 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > 0,2, \\ x > \frac14 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > 0,2, \\ x > 0,25 \end{cases}\)

Ответ: \((0,25; +\infty)\).

г) \(\begin{cases} 25 - 6x \leq 4 + x, \\ 3x + 7,7 > 1 + 4x \end{cases}\)

\(\begin{cases} -6x - x \leq 4 - 25, \\ 3x -4x > 1 - 7,7 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -7x \leq -21,   / : (-7) \\ -x > -6,7   / : (-1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \geq 3, \\ x < 6,7 \end{cases}\)

Ответ: \([3; 6,7)\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(a^{-2} + b^{-2} = \dfrac{1}{a^2} ^{\color{blue}{\backslash b^2}} + \dfrac{1}{b^2} ^{\color{blue}{\backslash a^2}} =\)

\(=\dfrac{b^2 + a^2}{a^2b^2}\);

б) \(xy^{-1} + xy^{-2} = \dfrac{x}{y} + \dfrac{x}{y^2} = \)

\(=\dfrac{y + 1}{y^2} = \dfrac{xy + x}{y^2}\);

в) \((a + b^{-1})(a^{-1} - b) = \)

\(=\left(a ^{\color{blue}{\backslash b}} + \dfrac{1}{b}\right)\left(\dfrac{1}{a} - b ^{\color{blue}{\backslash a}} \right) =\)

\(=\dfrac{(ab + 1)(1 - ab)}{ab} = \dfrac{1 - a^2b^2}{ab}\);

г) \((x - 2y^{-1})(x^{-1} + 2y) =\)

\(=\left(x ^{\color{blue}{\backslash y}} - \dfrac{2}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x} + 2y ^{\color{blue}{\backslash x}} \right)=\)

\(=\dfrac{xy-2}{y}\cdot\dfrac{1+2xy}{x}=\)

\(=\dfrac{(xy-2)(1+2xy)}{xy}=\)

\(=\dfrac{xy+2x^2y^2-2 -4xy}{xy}=\)

\(=\dfrac{2x^2y^2- 3xy-2}{xy}.\)

Пояснения:

Основные преобразования степеней:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)

1. Каждая отрицательная степень заменяется на дробь с положительной степенью в знаменателе.

2. Для выражений, где есть несколько слагаемых, приводим к общему знаменателю и упрощаем.

3. Для произведений раскрываем скобки и приводим подобные.