Упражнение 986 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} 3-2a<13,\\ 5a < 17 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2a<13 - 3,\\ 5a < 17  / : 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2a<10,  / : (-2) \\ a < \frac{17}{5} \end{cases} \)

\( \begin{cases} a>-5, \\ a < 3,4 \end{cases} \)

Ответ: \(a\in(-5, 3,4)\), целые числа:

\(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.\)

б) \( \begin{cases} 12-6x\le 0,\\ 3x+1\le 25-x \end{cases} \)

\( \begin{cases} -6x\le -12,\\ 3x+ x\le 25-1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -6x\le -12,  / : (-6)\\ 4x\le 24  / : 4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\ge 2, \\ x\le 6 \end{cases} \)

Ответ: \(x\in[2,6]\), целые числа:

\(2,3,4,5,6.\)

в) \( \begin{cases} 2-6y<14,\\ 1<21-5y \end{cases} \)

\( \begin{cases} -6y<14 - 2,\\ 5y<21-1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -6y<12,  / : (-6) \\ 5y<20 / : 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y>-2, \\ y<4 \end{cases} \)

Ответ: \(y\in(-2,4)\), целые числа:

\(-1,0,1,2,3.\)

г) \( \begin{cases} 3-4x<15,\\ 1-2x>0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4x<15 - 3,\\ -2x>-1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4x<12,  / : (-4) \\ -2x>-1  / : (-2) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x>-3, \\ x<0,5 \end{cases} \)

Ответ: \(x\in(-3,\frac12)\), целые числа:

\(-2,-1,0.\)

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Из полученного множества нужно выбрать целые числа.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

а) \(5^{-15} \cdot 5^{16} = 5^{-15+16} = 5^{1} = 5\);

б) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-4} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-4+3} =\)

\(=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = 3\);

в) \(4^{-8} : 4^{-9} = 4^{-8 - (-9)} = 4^{1} = 4\);

г) \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^2 : \left(\dfrac{1}{5}\right)^4 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2-4} =\)

\(=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25\);

д) \((2^{-2})^{-3} = 2^{-2 \cdot (-3)} = 2^{6} = 64\);

е) \((0{,}1^{-3})^{-1} = 0{,}1^{-3 \cdot (-1)} = 0{,}1^{3} =\)

\(=0{,}001\).

Пояснения:

Основные свойства степеней:

\( a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}, \)

\(\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \)

\((a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, \)

\(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}, \)

\((\dfrac1a)^{-n} = a^n\).