Упражнение 988 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} 2{,}5a-0{,}5(8-a)< a+1{,}6,\\ 1{,}5(2a-1)-2a < a+2{,}9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2{,}5a-4+0,5a< a+1{,}6,\\ 3a-1,5-2a < a+2{,}9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3a-4< a+1{,}6,\\ a-1,5 < a+2{,}9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3a-a< 4+1,6,\\ a-a < 2{,}9 + 1,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2a< 5,6, / : 2 \\ 0a < 4,4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a< 2,8 \\ a - любое \; число \end{cases} \)

Ответ: \((-\infty; 2,8)\).

б) \( \begin{cases} 0{,}7(5a+1)-0{,}5(1+a)<3a,\\ 2a-(a-1{,}7)>6{,}7\end{cases} \)

\( \begin{cases} 3,5a+0,7-0,5-0,5a<3a,\\ 2a-a+1{,}7>6{,}7\end{cases} \)

\( \begin{cases} 3a+0,2<3a,\\ 2a+1{,}7>6{,}7\end{cases} \)

\( \begin{cases} 3a-3a<-0,2,\\ 2a>6,7-1,7 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 0a<-0,2,\\ 2a>5  / :2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 0<-0,2 - неверно, \\ a>2,5 \end{cases} \)

Ответ: решений нет.

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении систем неравенств сначала раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения, затем используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \] при любом целом \(n\), \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\).

Доказательство:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}=\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}=\)

\(= 1 : \frac{a^n}{b^n} = 1\cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}= \left(\frac{b}{a}\right)^n\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Согласно определению степени с отрицательным показателем:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}\).

По свойству степени \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\), тогда

\(\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}=\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}\).

Откуда, заменив дробь делением, имеем:

\(1 : \frac{a^n}{b^n} = 1\cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}= \left(\frac{b}{a}\right)^n\)