Упражнение 1039 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(0{,}01(1-3x)>0{,}02x+3{,}01\) \(/\times100\)

\(1-3x>2x+301\) 

\(-3x - 2x > 301-1\)

\(-5x > 300\)   \(/ : (-5)\)

\(x < -60\)

Ответ: \((-\infty; -60)\).

б) \(12(1-12x)+100x>36-49x\)

\(12 - 144x + 100x > 36 - 49x\)

\(12 - 44x > 36 - 49x\)

\(-44x + 49x > 36 - 12\)

\(5x > 24\)  \(/ : 5\)

\(x > 4,8\)

Ответ: \((4,8; +\infty)\).

в) \((0{,}6y-1)-0{,}2(3y+1) < 5y-4\)

\(0,6y - 1 -0,6y - 0,2 < 5y - 4\)

\(-1,2 < 5y - 4\)

\(-5y < -4 + 1,2\)

\(-5y < -2,8\)    \(/ : (-5)\)

\(y > 0,56\)

Ответ: \((0,56; +\infty)\).

г) \(\dfrac{2}{3}(6x+4)-\dfrac{1}{6}(12x-5)\le 4-6x\)  \(/\times 6\)

\(4(6x + 4) -(12x - 5) \le 24 - 36x\)

\(24x + 16 - 12x + 5 \le 24 - 36x\)

\(12x + 21 \le 24 - 36x\)

\(12x + 36x \le 24 - 21\)

\(48x \le 3\)   \(/ : 48\)

\(x \le \frac{3}{48}\)

\(x \le \frac{1}{16}\)

Ответ: \((-\infty; \frac{1}{16}]\).

д) \((3a+1)(a-1)-3a^{2}>6a+7\)

\(\cancel{3a^2} -3a+a - 1 - \cancel{3a^2} > 6a + 7\)

\(-2a - 1 > 6a+7\)

\(-2a - 6a > 7 + 1\)

\(-8a > 8\)   \(/ : 8\)

\(a < -1\)

Ответ: \((-\infty; -1)\).

е) \(15x^{2}-(5x-2)(3x+1) < 7x-8\)

\(15x^2 - (15x^2 +5x -6x - 2) < 7x - 8\)

\(\cancel{15x^2} - \cancel{15x^2} -5x + 6x + 2 < 7x - 8\)

\(x + 2 < 7x - 8\)

\(x - 7x < -8 - 2\)

\(-6x < -10\)   \(/ : (-6)\)

\(x > \frac{10}{6}\)

\(x > \frac{5}{3}\)

\(x > 1\frac{2}{3}\)

Ответ: \((1\frac{2}{3}; +\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств сначала раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

При раскрытии скобок используем следующие приемы:

- распределительное свойство умножения:

\(k(a \pm b) = ka \pm kb\);

- противоположные выражения:

\(-(a + b) = -a - b\);

- умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c - d) = ac - ad + bc -bd\).

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\(x^2 + 12x + 30 = 0\).

\(a = 1\),   \(b = 12\),   \(c = 30\)

По теореме, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -12\)   и   \(x_1 x_2 = 30\)

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(=(x_1^2 +2x_1x_2+ x_2^2) - 2x_1x_2=\)

\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2= \)

\(= (-12)^2 - 2\cdot 30 = 144 - 60 = 84 \)

Ответ: \(x_1 + x_2 =84\).

Пояснения:

1. Формулы Виета

Для квадратного уравнения \(x^2 + bx + c = 0\) справедливо:

\[ x_1 + x_2 = -b,\qquad x_1x_2 = c. \]

2. Формула суммы квадратов

\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2. \]

Эта формула позволяет найти сумму квадратов корней, не решая само уравнение.