Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1081 учебника 2023-2025 (стр. 240):
Найдите множество значений функции:
а) \(f(x)=2x-1\), где \(1 \leq x \leq 4\);
б) \(g(x)=-3x+8\), где \(-2 \leq x \leq 5\).
№1081 учебника 2013-2022 (стр. 249):
Представьте в виде дроби выражение:
а) \(xy^{-2} - x^{-2}y\);
б) \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{-1} + \left(\dfrac{x}{y}\right)^{-2}\);
в) \(mn(n - m)^{-2} - n(m - n)^{-1}\);
г) \((x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1})\).
№1081 учебника 2023-2025 (стр. 240):
Вспомните:
№1081 учебника 2013-2022 (стр. 249):
Вспомните:
№1081 учебника 2023-2025 (стр. 240):
а) Функция \(f(x)=2x-1\) — линейная, возрастающая.
На концах отрезка:
\(f(1)=2\cdot1-1=1,\)
\(f(4)=2\cdot4-1=7.\)
\(E=[1;7].\)
б) Функция \(g(x)=-3x+8\) — линейная, убывающая.
На концах отрезка:
\(g(-2)=-3\cdot(-2)+8=\)
\(=6+8=14,\)
\(g(5)=-3\cdot5+8=\)
\(=-15+8=-7.\)
\(E=[-7;14].\)
Ответ: а) \([1;7]\); б) \([-7;14]\).
Пояснения:
— Для линейной функции достаточно рассчитать значения в концах промежутка.
— Если коэффициент при \(x\) положительный (как в пункте а), функция возрастает, и наименьшее значение — в левой точке, наибольшее — в правой.
— Если коэффициент при \(x\) отрицательный (как в пункте б), функция убывает, и наименьшее значение достигается в правой точке, а наибольшее — в левой.
№1081 учебника 2013-2022 (стр. 249):
а) \( xy^{-2} - x^{-2}y = \dfrac{x}{y^{2}} ^{\color{blue}{\backslash x^2}} - \dfrac{y}{x^{2}} ^{\color{blue}{\backslash y^2}} = \)
\(=\dfrac{x^{3} - y^{3}}{x^{2}y^{2}}. \)
б) \( \left(\dfrac{x}{y}\right)^{-1} + \left(\dfrac{x}{y}\right)^{-2} = \dfrac{y}{x} + \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2} =\)
\(=\dfrac{y}{x} ^{\color{blue}{\backslash x}} + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} = \dfrac{xy + y^2}{x^{2}}. \)
в) \( mn(n - m)^{-2} - n(m - n)^{-1} = \)
\(=\dfrac{mn}{(n - m)^{2}} - \dfrac{n}{m - n}= \)
\(=\dfrac{mn}{(m-n)^{2}} - \dfrac{n}{m-n} ^{\color{blue}{\backslash m-n}} =\)
\(=\dfrac{mn - n(m-n)}{(m-n)^{2}}=\)
\(=\dfrac{\cancel{mn} - \cancel{mn}+n^2}{(m-n)^{2}}=\)
\(=\dfrac{n^{2}}{(m-n)^{2}}. \)
г) \( (x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1}) =\)
\(=(x^{-1})^{2} - (y^{-1})^{2} =x^{-2} - y^{-2} =\)
\(=\dfrac{1}{x^{2}} ^{\color{blue}{\backslash y^2}} - \dfrac{1}{y^{2}} ^{\color{blue}{\backslash x^2}} = \dfrac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}y^{2}}. \)
Пояснения:
При выполнении преобразований использованы:
- Свойства степеней с отрицательными показателями:
\( a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}, \)
\( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}=\dfrac{b^n}{a^n},\)
\(a^m\cdot a^n = a^{m+n},\)
\((a^m)^n = a^{m\cdot n}.\)
- Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
- Квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^ 2 = (b - a)^2\).
После замены степеней отрицательных показателей на обратные дроби выражения приводим к общему знаменателю и упрощаем.
Вернуться к содержанию учебника