Вернуться к содержанию учебника
Контрольные вопросы и задания
1) Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции.
2) Что называется нулём функции? Укажите нуль функции, заданной формулой \(y=kx+b\), где \(k\ne0\). Может ли линейная функция не иметь нулей?
3) Как изменяется на каждом из промежутков \((- \infty;0)\) и \((0;+\infty)\) функция \(y=\dfrac{k}{x}\)? Рассмотрите случаи \(k>0\) и \(k<0\).
4) Перечислите свойства функции, заданной формулой \(y=\sqrt{x}\). Может ли эта функция принимать значение, равное \(9\), \(-4\), \(8\)? Если может, то при каком значении аргумента?
Вспомните:
1) \(y=2x-1\) - возрастающая линейная функция.
\(y=-3x+5\) - убывающая линейная функция.
Свойство:
При \(k>0\) функция \(y=kx+b\) является возрастающей, а при \(k<0\) - убывающей.
Доказательство:
Пусть \(x_1\) и \(x_2\) - произвольные значения аргумента, причем \(x_2 > x_1\). Обозначим через \(y_1\) и \(y_2\) соответствующие им значения функции:
\(y_1 = kx_1 + b\) и \(y_2 = kx_2 + b\).
Рассмотрим разность \(y_2 - y_1\):
\(y_2 - y_1 = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) =\)
\(=kx_2 + \cancel b - kx_1 - \cancel b =\)
\(=kx_2 - kx_1 =k(x_2 - x_1)\).
Множитель \(x_2 - x_1\) положителен, так как \(x_2> x_1\). Поэтому знак произведения определяется знаком коэффициента \(k\).
Если \(k > 0\), то \(k(x_2 - x_1) > 0\) и \(y_2 > y_1\). Значит, при \(k > 0\) функция \(y=kx+b\) является возрастающей.
Если \(k < 0\), то \(k(x_2 - x_1) <0\) и \(y_2 < y_1\). Значит, при \(k < 0\) функция \(y=kx+b\) является убывающей.
Что и требовалось доказать.
2) Нулем функции называется значение аргумента \(x\), при котором значение функции \(y\) равно нулю.
Функция \(y = kx+b\) при \(k \neq 0\) обращается в нуль при \(x=-\frac{b}{k}\)
Линейная функция может не иметь нулей только в том случае, когда
\(k=0,\) \(y=b\ne0\); при \(k=0,\) \(b=0\) нулей бесконечно много (все \(x\)).
3) При \(k>0\) функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\).
При \(k<0\) функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\).
4) Свойства функции \( y = \sqrt{x} \):
1. Функция определена при любых неотрицательных значениях аргумента, т.е. \(D(y) = [0; +\infty)\).
2. Функция принимает только неотрицательные значения, причем любое неотрицательное число может являться ее значением, т.е.
\(E(y) = [0; + \infty)\).
3. Функция обращается в нуль при \(x = 0\).
4. Функция является возрастающей.
\( y=9\) при \(x=81\),
\( y=-4\) - невозможно, так как
\(y=\sqrt{x}\ge0 \),
\( y=8\) при \( x=64\).
Вернуться к содержанию учебника