Упражнение 1147 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 257

1) С осью \(y\):   \(x = 0\).

\( y = \frac{1}{0^2 + 1} = 1. \)

\((0; 1)\) - точка пересечения с осью \(y\).

С осью \(x\):   \(y = 0\).

\( \frac{1}{x^2 + 1} = 0\) - нет корней, так как \(\dfrac{1}{x^2 + 1} > 0\) для любого \(x\), поэтому график ось \(x\) не пересекает.

2) Знаменатель \(x^2 + 1 > 0\) при любом \(x\), значит, \(y = \dfrac{1}{x^2 + 1} > 0\) при любом \(x\). Тогда график функции расположен выше оси \(x\), то есть в I и II координатных четвертях.

Ответ: график пересекает ось \(y\) в точке \((0; 1)\), не пересекает ось \(x\) и расположен в I и II координатных четвертях.

Пояснения:

Функция \(y = \dfrac{1}{x^2 + 1}\):

• определена для любого значения \(x\);
• всегда положительна, так как знаменатель \(x^2 + 1 > 0\) и поэтому не пересекает ось \(x\);
• ось \(y\) функция пересекает при \(x = 0\) в точке \((0; 1)\).

Поэтому график функции \(y = \dfrac{1}{x^2 + 1}\) полностью расположенная выше оси \(x\), то есть в I и II координатных четвертях.

а) \(\displaystyle y=\frac{2x+3}{x}=2+\frac{3}{x}\),

Область определения: \(x\ne0\).

б) \(\displaystyle y=\frac{4-5x}{x}=\frac{4}{x}-5\),

Область определения: \(x\ne0\).

в) \(\displaystyle y=\frac{12}{x-4}\),

Область определения: \(x\ne4\).

г) \(\displaystyle y=-\,\frac{6}{x+3}\),

Область определения: \(x\ne-3\).

Пояснения:

Использованные правила.

Деление многочлена на \(x\) раскладываем как \(\displaystyle \frac{ax+b}{x}=a+\frac{b}{x}\).

График \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\) — гипербола с асимптотами \(x=0\) и \(y=0\). Сдвиги: \(\displaystyle y=a+\frac{k}{x}\) — вертикальный сдвиг на \(a\) (горизонтальная асимптота \(y=a\)); \(\displaystyle y=\frac{k}{x-h}\) — горизонтальный сдвиг на \(h\) (вертикальная асимптота \(x=h\)).

а) \(\displaystyle y=2+\frac{3}{x}\).

Это гипербола \(\displaystyle \frac{3}{x}\), сдвинутая вверх на \(2\). Поэтому вертикальная асимптота остаётся \(x=0\), горизонтальная становится \(y=2\). Знаки: при \(x>0\) \(y>2\); при \(x<0\) \(y<2\).

б) \(\displaystyle y=-5+\frac{4}{x}\).

Сдвиг гиперболы \(\displaystyle \frac{4}{x}\) вниз на \(5\). Асимптоты: \(x=0\), \(y=-5\).

в) \(\displaystyle y=\frac{12}{x-4}\).

Это гипербола, сдвинутая вправо на \(4\). Асимптоты: \(x=4\), \(y=0\). Значения \(y\) положительны при \(x>4\) и отрицательны при \(x<4\). Пересечения с осью \(Ox\) нет, так как дробь с ненулевым числителем не равна нулю.

г) \(\displaystyle y=-\frac{6}{x+3}\).

Гипербола, сдвинутая влево на \(3\) и отражённая по знаку. Асимптоты: \(x=-3\), \(y=0\). Ветвь во II четверти (при \(x<-3\)) выше оси \(Ox\), во IV четверти (при \(x>-3\)) ниже оси \(Ox\).

Асимптота — это прямая, к которой график функции неограниченно приближается, но никогда не пересекает.