Упражнение 1293 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 284

\(x^{2} + (a - 1)x - 2a = 0\)

Пусть корни уравнения: \(x_1\) и \(x_2\).

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(a \) - ?

По теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = -(a - 1) = 1 - a, \)

\(x_1x_2 = -2a. \)

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(=(x_1^2 +2x_1x_2+ x_2^2) - 2x_1x_2=\)

\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2.\)

\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=9\)

\((1 - a)^2 - 2\cdot(-2a) =9\)

\(1 - 2a + a^2 + 4a-9=0\)

\(a^2 + 2a - 8 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -8\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=2^2 - 4\cdot1\cdot(-8) = \)

\(=4 +32 = 36\),   \(\sqrt D = 6\).

\(a_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(a_1 = \frac{-2 + 6}{2\cdot1} = \frac42 = 2\),

\(a_2 = \frac{-2 - 6}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

1) Если \(a = 2\), то

\(x^{2} + (2 - 1)x - 2\cdot2 = 0\)

\(x^2 -x-4 = 0\)

\(a = 1\),   \(b = -1\),   \(c = -4\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-4) = \)

\( = 1 + 16 = 17 > 0\) - уравнением имеет два корня.

2) Если \(a = -4\), то

\(x^{2} + (-4 - 1)x - 2\cdot(-4) = 0\)

\(x^2 - 5x + 8 = 0\)

\(a = 1\),   \(b = -5\),   \(c = 8\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot8 =\)

\(=25 - 32 = -7 < 0\) - уравнение не имеет корней.

Ответ: при \(a = 2\).

Пояснения:

Для квадратного уравнения

\(x^2 + px + q = 0\) по теореме Виета выполняется: \[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q. \]

Формула для суммы квадратов корней выводится из тождества:

\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\),

следовательно,

\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2. \)

Подстановка значений из теоремы Виета позволяет выразить сумму квадратов через коэффициенты уравнения и найти \(a\), решив квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

При решении получили \(a = 2\) и \(a = -4\). По условию исходное уравнение должно иметь два корня, что выполняется только при \(a = 2\). При \(a = -4\) уравнение не имеет корней, следовательно , в ответь записываем только \(a = 2\).