Упражнение 1294 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 284

\(n > 2\)

\( x+\frac1x=n \)    \(/\times x\)

ОДЗ: \( x \ne 0\)

\(x^2+1 = nx\)

\(x^2-nx+1=0\)

\(a = 1\),  \(b = -n\),  \(c = 1\)

\(D = b^2 - 4ac = (-n)^2 -4\cdot1\cdot1 =\)

\(=n^2 - 4\)

\(n > 2\), тогда  \(n^2 - 4 > 0\) - то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}= \frac{n+ \sqrt {n^2 \pm 4}}{2}\),

Докажем, что \(\sqrt{n^2-4}\) иррациональное число при \(n>2\).

Пусть \(n^2-4=k^2\),

\(k\) - целое число.

\(n^2 - k^2 = 4\)

\( (n-k)(n+k)=4\)

\(n>2\), поэтому \(n\pm k>0\).

\(4 = 1\cdot4 = 2\cdot2\)

1) \( \begin{cases}n-k=1\\ n+k=4\end{cases}\)   \((+)\)

\( \begin{cases}2n=5  / :2\\ n+k=4\end{cases}\) 

\( \begin{cases}n=\frac52\\ k=4 - n\end{cases}\) 

\(n = \frac52\) - не является натуральным число, что противоречит условию.

2) \(\begin{cases}n-k=2\\ n+k=2\end{cases}\)   \((+)\)

\( \begin{cases}2n=4  / :2\\ n+k=4\end{cases}\) 

\( \begin{cases}n=\frac42\\ k=4 - n\end{cases}\) 

\( \begin{cases}n=2\\ k=4 - 2\end{cases}\) 

\( \begin{cases}n=2\\ k=2\end{cases}\) 

Видим, что единственный целый \(n\), дающий квадрат, это \(n=2\). Значит, при \(n>2\) число \(n^2-4\) не является квадратом целого, а значит \(\sqrt{n^2-4}\) иррациональное число.

Тогда и оба корня \[ x_{1,2}=\frac{n\pm\sqrt{n^2-4}}{2} \] являются иррациональными.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Переход от \(x+\dfrac1x=n\) к квадратному уравнению \(x^2-nx+1=0\) выполнен умножением на \(x\ne0\).

Для рациональности корней квадратного уравнения с целыми коэффициентами необходимо, чтобы дискриминант был полным квадратом: \(D=n^2-4=k^2\).

Равенство \(n^2-k^2=4\) по формуле разности квадратов принимает вид \((n-k)(n+k)=4\). При \(n>2\) единственные положительные разложения 4 не дают целого \(n>2\). Следовательно, \(D\) не является квадратом при \(n>2\).

Иррациональность \(\sqrt{n^2-4}\) влечёт иррациональность обоих корней уравнения.