Упражнение 1295 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 284

\( y=\sqrt{x^{2}+2\sqrt2\,x+2}+\sqrt{x^{2}-2\sqrt2\,x+2}, \)

где \(-\sqrt2\le x\le \sqrt2, \)

\( y=\sqrt{(x+\sqrt2)^{2}}+\sqrt{(x-\sqrt2)^{2}} \)

\(y=|x+\sqrt2|+|x-\sqrt2|. \)

При \(-\sqrt2\le x\le \sqrt2\):

\(x+\sqrt2\ge0\) и \(x-\sqrt2\le0\). Поэтому

\( |x+\sqrt2|=x+\sqrt2,\)

\(|x-\sqrt2|=-(x-\sqrt2)=\sqrt2-x. \)

\( y=(x+\sqrt2)+(\sqrt2-x)\)

\(y=\cancel x+\sqrt2+\sqrt2-\cancel x\)

\(y=2\sqrt2 \) - линейная функция.

Пояснения:

Выделили полный квадрат под каждым корнем:

\(\sqrt{x^{2}\pm2\sqrt2\,x+2}=\)

\(=\sqrt{(x\pm\sqrt2)^{2}}=|x\pm\sqrt2|\).

При \(-\sqrt2\le x\le \sqrt2\) знаки выражений под модулем фиксированы:

\( x+\sqrt2\ge0,\quad x-\sqrt2\le0\),

следовательно,

\(|x+\sqrt2|=x+\sqrt2,\)

\(|x-\sqrt2|=\sqrt2-x. \)

Сумма модулей сокращает \(x\):

\[ (x+\sqrt2)+(\sqrt2-x)=2\sqrt2. \]

Получили число — частный случай линейной функции (прямая параллельная оси \(x\). Следовательно, на промежутке \([-\,\sqrt2,\sqrt2]\) функция линейна.