Вернуться к содержанию учебника
№1300 учебника 2023-2025 (стр. 284):
Из пунктов \(A\) и \(B\) одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от пункта \(B\). Прибыв в пункты \(A\) и \(B\), они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от пункта \(A\). Найдите расстояние между пунктами \(A\) и \(B\).
№1300 учебника 2023-2025 (стр. 284):
Вспомните:
№1300 учебника 2023-2025 (стр. 284):
Пусть расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(S\) км \(S > 30\), а время до первой встречи равно \(t\) ч.
Первый велосипедист (из \(A\)):
1) \(S - 30\) (км) - проехал до первой встречи.
2) \(\frac{S-30}{t}\) (км/ч) - скорость первого велосипедиста.
3) \(30 : \frac{S-30}{t}=30\cdot\frac{t}{S-30}=\)
\(=\frac{30t}{S-30}\) (ч) - время движения от первой встречи до пункта \(B\).
4) \(S - 18\) (км) - проехал от пункта \(B\) до второй встречи.
5) \((S - 18) : \frac{S-30}{t}=\)
\(=(S - 18) \cdot \frac{t}{S-30}=\)
\(=\frac{(S - 18)t}{S-30}\) (ч) - время движения от пункта \(B\) до второй встречи.
6) \(\frac{30t}{S-30} + \frac{(S - 18)t}{S-30}\) (ч\) - время движения от первой встречи до второй.
Второй велосипедист (из \(B\)):
1) \(30\) (км) - проехал до первой встречи.
2) \(\frac{30}{t}\) (км/ч) - скорость второго велосипедиста.
3) \((S - 30) : \frac{30}{t} = (S - 30) \cdot \frac{t}{30}= \)
\(=\frac{(S - 30)t}{30}\) (ч) - время движения от первой встречи до пункта \(А\).
4) \(18\) (км) - проехал от пункта \(A\) до второй встречи.
5) \(18 : \frac{30}{t}=18 \cdot \frac{t}{30}=\)
\(=\frac{18t}{30}\) (ч) - время движения от пункта \(A\) до второй встречи.
6) \(\frac{(S - 30)t}{30} + \frac{18t}{30}\) (ч) - время движения от первой встречи до второй.
Составим уравнение:
\(\frac{30t}{S-30} + \frac{(S - 18)t}{S-30} = \frac{(S - 30)t}{30} + \frac{18t}{30}\) \(/ : t\)
\(\frac{30}{S-30} + \frac{S - 18}{S-30} = \frac{S - 30}{30} + \frac{18}{30}\)
\(\frac{30 + S - 18}{S-30} = \frac{S - 30 + 18}{30}\)
\(\frac{S+ 12}{S-30} = \frac{S - 12}{30}\)
\((S - 30)(S - 12) = 30(S + 12)\)
\(S^2 - 12S - 30S +360 = 30S + 360\)
\(S^2 -42S + \cancel{360} - 30S - \cancel{360} = 0\)
\(S^2 - 72S = 0\)
\(S(S - 72) = 0\)
\(S = 0\) или \(S - 72 = 0\)
\(S = 72\)
\(S > 30\), значит, расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(72\) км.
Ответ: \(72\) км.
Пояснения:
Решаем задачу с помощью уравнения.
Вводим обозначения: расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(S\) км \(S > 30\), а время до первой встречи равно \(t\) ч.
Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время.
Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.
По условию задачи выражаем время движения каждого велосипедиста от первой их встречи до второй и, учитывая то, что время одинаковое, составляем уравнение, приравняв эти выражения:
\(\frac{30t}{S-30} + \frac{(S - 18)t}{S-30} = \frac{(S - 30)t}{30} + \frac{18t}{30}\).
Учитывая то, что время \(t \ne 0\), обе части уравнения разделили на \(t\) и получили уравнение с одной переменной:
\(\frac{30}{S-30} + \frac{S - 18}{S-30} = \frac{S - 30}{30} + \frac{18}{30}\).
Выполнив сложение дробей с одинаковыми знаменателями в левой и правой частях уравнения, получили пропорцию:
\(\frac{S+ 12}{S-30} = \frac{S - 12}{30}\).
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, тогда имеем:
\((S - 30)(S - 12) = 30(S + 12)\).
Раскрыв скобки и выполнив преобразования, получили неполное квадратное уравнение:
\(S^2 - 72S = 0\), из которого имеем:
\(S = 0\) или \(S - 72 = 0\).
Согласно условию \(S > 30\), значит, расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(72\) км.
Вернуться к содержанию учебника