Упражнение 1301 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 284

Пусть скорость первого мотоциклиста равна \(x\) км/ч, а скорость второго мотоциклиста равна \(y\) км/ч, тогда скорость их сближения \(x + y\) км/ч. Расстояние между пунктами равно \(S\) км. Время движения до встречи равно \(t\) ч.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} S = (x+y)t, \\[4pt] x = \frac{S}{t + 2,5}, \\[4pt] y = \frac{S}{t+ 1,6} \end{cases} \)

\( \begin{cases} S = \left(\frac{S}{t + 2,5}+\frac{S}{t+ 1,6}\right)t, \\[4pt] x = \frac{S}{t + 2,5}, \\[4pt] y = \frac{S}{t+ 1,6} \end{cases} \)

\(S = \left(\frac{S}{t + 2,5}+\frac{S}{t+ 1,6}\right)t\)

\(S = \frac{St}{t + 2,5}+\frac{St}{t+ 1,6}\)     \(/ : S\)

\(1 = \frac{t}{t + 2,5}+\frac{t}{t+ 1,6}\)   \(/\times (t + 2,5)(t + 1,6)\)

\((t + 2,5)(t + 1,6) = t(t + 1,6) + t(t + 2,5)\)

\(t^2 + 1,6t+ 2,5t + 4 = t^2 + 1,6t + t^2 + 2,5t\)

\(t^2 + 4,1t + 4 = 2t^2 + 4,1t\)

\( 2t^2 + \cancel{4,1t} - t^2 - \cancel{4,1t} - 4= 0\)

\(t^2 -4 = 0\)

\(t^2 = 4\)

\(t = \pm\sqrt4\)

\(t_1 = -2\) - не удовлетворяет условию.

\(t_2 = 2\)

1) \(2\) ч - был в пути каждый мотоциклист до встречи.

2) \(2 + 2,5 = 4,5\) (ч) - был в пути первый мотоциклист.

3) \(2 + 1,6 = 3,6\) (ч) - был в пути второй мотоциклист.

Ответ: \(4,5\) ч и \(3,6\) ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью системы уравнений.

Вводим обозначения: скорость первого мотоциклиста равна \(x\) км/ч, а скорость второго мотоциклиста - \(y\) км/ч, тогда скорость их сближения \(x + y\) км/ч. Расстояние между пунктами равно \(S\) км. Время движения до встречи равно \(t\) ч.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время. Тогда первое уравнение системы:

\(S = (x+y)t\).

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время. Тогда второе уравнение системы:

\(x = \frac{S}{t + 2,5}\); третье уравнение системы: \(y = \frac{S}{t+ 1,6}\).

Получаем систему из трех уравнений:

\( \begin{cases} S = (x+y)t, \\[4pt] x = \frac{S}{t + 2,5}, \\[4pt] y = \frac{S}{t+ 1,6} \end{cases} \).

Решаем систему способом подстановки, подставляя значения \(x\) и \(y\) из второго и третьего уравнений системы в первое, получая тем самым уравнение:

\(S = \left(\frac{S}{t + 2,5}+\frac{S}{t+ 1,6}\right)t\).

Разделив обе части полученного уравнения на \(S\), получим  дробное рациональное уравнение с одной переменной:

\(1 = \frac{t}{t + 2,5}+\frac{t}{t+ 1,6}\).

Решив это уравнение, получаем:

\(t_1 = -2\)   и   \(t_2 = 2\).

Но отрицательный корень не удовлетворяет условию, так как время не может быть отрицательным числом. Значит, до встречи каждый мотоциклист был в пути \(2\) ч.

Первый мотоциклист прибыл в B через 2,5 ч после встречи, значит, он был в пути:

\(2 + 2,5 = 4,5\) (ч).

Второй мотоциклист прибыл в А через 1,6 ч после встречи, значит, он был в пути:

\(2 + 1,6 = 3,6\) (ч).