Упражнение 1303 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 285

Пусть первый самосвал вывезет всю руду за \(x\) ч, тогда второй самосвал вывезет всю руду за - \(x + 3\) ч. Обозначим всю руду за 1. Тогда производительность первого самосвала \(\frac1x\), а второго - \(\frac{1}{x+3}\).

На вывоз \(\frac13\) руды первый самосвал затратит:

\(\frac{1}{3} : \frac1x =\frac{1}{3} \cdot x = \frac{x}{3} \) ч.

На вывоз \(\frac23\) руды второй самосвал затратит:

\(\frac{2}{3} : \frac{1}{x+3} =\frac{2}{3} \cdot(x+3) = \frac{2(x+3)}{3} \) ч.

Одновременно выполняя работу самосвалы затратят:

\(1 : \left( \frac1x ^{\color{blue}{\backslash x+3}} + \frac{1}{x+3} ^{\color{blue}{\backslash x}} \right)=\)

\(=1 : \frac{x + 3 + x}{x(x+3)}=1 : \frac{2x + 3}{x(x+3)}=\)

\(=\frac{x(x+3)}{2x+3}\) (ч)

Составим уравнение:

\(\frac{x(x+3)}{2x+3} + 7\frac13= \frac x3 + \frac{2(x+3)}{3}\)

\(\frac{x^2+3x}{2x+3} + \frac{22}{3}= \frac{x+2x+6}{3}\) 

\(\frac{x^2+3x}{2x+3} + \frac{22}{3}= \frac{3x+6}{3}\)\(/\times3(2x+3)\)

\(3(x^2 + 3x) + 22(2x+3) = (3x+6)(2x+3)\)

\(3x^2 + 9x + 44x + 66 = 6x^2 + 9x + 12x + 18\)

\(3x^2 + 53x + 66 = 6x^2 + 21x + 18\)

\(6x^2 + 21x + 18 - 3x^2 - 53x - 66 = 0\)

\(3x^2 -32x - 48 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -32\),  \(c = -48\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-32)^2 - 4\cdot3\cdot(-48) =\)

\(=1024 + 576 =1600\),   \(\sqrt D = 40\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{32 + 40}{2\cdot3} = \frac{72}{6} = 12\).

\(x_2 = \frac{32 - 40}{2\cdot3} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}\) - не удовлетворяет условию.

1) \(12\) (ч) - время, за которое всю руду вывезет первый самосвал.

2) \(12 + 3 = 15\) (ч) - время, за которое всю руду вывезет второй самосвал.

Ответ: \(12\) ч и \(15\) ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим обозначения и по условию задачи составляем дробное рациональное уравнение:

\(\frac{x(x+3)}{2x+3} + 7\frac13= \frac x3 + \frac{2(x+3)}{3}\),

которое сводится к квадратному уравнению:

\(3x^2 -32x - 48 = 0\)

При решении уравнения получаем два корня:

\(x_1 = 12\) и \(x_2  -\frac{4}{3}\).

Но отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом. Значит, первый самосвал вывезет всю руду за \(12\) ч. Первый самосвал может вывезти всю руду на \(3\) ч быстрее, чем второй, тогда второй самосвал моет вывезти всю руду за:

\(12 + 3 = 15\) (ч).