Упражнение 1307 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 285

Пусть через \(t\) часов расстояние между пешеходами будет 25 км. Так как дороги взаимно перпендикулярны, расстояние между ними находится по теореме Пифагора:

\( {(7 + 4t)^2 + (10 + 5t)^2} = 25^2 \)

\(49 + 56t + 16t^2 + 100 + 100t + 25t^2 = 625 \)

\( 41t^2 + 156t + 149 - 625 = 0 \)

\( 41t^2 + 156t - 476 = 0 \)

\(a = 41\),  \(b = 156\),  \(c = 476\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=156^2 - 4\cdot41\cdot(-476) =\)

\(=24 336 + 78 064 = 102400\),

\(\sqrt D = 320\).

\(t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \)

\(t_1 = \frac{-156 + 320}{2\cdot41} = \frac{164}{82} =2.\)

\(t_2 = \frac{-156 - 320}{2\cdot41} = -\frac{476}{82}\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: через 2 часа.

Пояснения:

Так как пешеходы движутся по взаимно перпендикулярным направлениям, их расстояние вычисляется как гипотенуза прямоугольного треугольника: \[ d^2 = x_1^2 + x_2^2. \]

Через \(t\) часов первый пешеход пройдёт \(7 + 4t\) км, второй — \(10 + 5t\) км.

Подставив эти выражения в формулу, получили квадратное уравнение относительно \(t\).

Решение \(t=2\) показывает, что через 2 часа расстояние между пешеходами станет 25 км. Отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом.