Вернуться к содержанию учебника
№1304 учебника 2023-2025 (стр. 285):
Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось заканчивать одному второму слесарю, и поэтому задание было выполнено на 4,5 ч позже, чем если бы всю работу они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание каждый слесарь?
№1304 учебника 2023-2025 (стр. 285):
Вспомните:
№1304 учебника 2023-2025 (стр. 285):
Пусть второй слесарь может выполнить все задание за \(x\) часов, тогда первый — за \(x + 7\) часов.
Производительность второго — \(\frac{1}{x}\),
производительность первого — \(\frac{1}{x + 7}\).
Совместная производительность:
\( \frac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash x+7}} + \frac{1}{x + 7} ^{\color{blue}{\backslash x}} =\frac{x+7+x}{x(x + 7}=\)
\(=\frac{2x + 7}{x(x + 7)}. \)
Половину задания они выполнили вместе за:
\(\frac12 : \frac{2x + 7}{x(x + 7)} = \frac12\cdot\frac{x(x + 7)}{2x + 7)}= \)
\(=\frac{x(x + 7)}{2(2x + 7)}\) (ч).
Оставшуюся половину задания второй слесарь выполнит за:
\(\frac12 : \frac1x = \frac12\cdot x =\frac x2\) (ч).
Если бы слесари все задание выполняли вместе, то на нее у них бы ушло:
\(1 : \frac{2x + 7}{x(x + 7)} =\frac{x(x + 7)}{2x + 7} \) (ч).
Составим уравнение:
\(\frac{x(x + 7)}{2(2x + 7)} + \frac x2 = \frac{x(x + 7)}{2x + 7} + 4,5\)
\(\frac{x^2 + 7x}{2(2x + 7)} + \frac x2 = \frac{x^2 + 7x}{2x + 7} +\frac92\) \(/\times2(2x+7)\)
\(x^2 + 7x + x(2x+7) = 2(x^2 + 7x) + 9(2x+7)\)
\(x^2 + 7x + 2x^2 + 7x = 2x^2 + 14x + 18x + 63\)
\(3x^2 + 14x = 2x^2 + 32x + 63\)
\(3x^2 + 14x - 2x^2 - 32x - 63=0\)
\(x^2 - 18x - 63 =0\)
\(a = 1\), \(b = -18\), \(c = -63\)
\(D = b^2 - 4ac=\)
\(= (-18)^2 - 4\cdot1\cdot(-63) =\)
\(=324 + 252 = 576\), \(\sqrt D = 24\)
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_1 = \frac{18 + 24}{2\cdot1} = \frac{42}{2} = 21\).
\(x_2= \frac{18 - 24}{2\cdot1} = -\frac{6}{2} = -2\) - не удовлетворяет условию.
1) \(21\) ч - время, за которое второй слесарь выполнит все задание.
2) \(21 + 7 = 28\) (ч) - время, за которое первый слесарь выполнит все задание.
Ответ: 28 ч и 21 ч.
Пояснения:
Решаем задачу с помощью уравнения.
Вводим обозначения и по условию задачи составляем дробное рациональное уравнение:
\(\frac{x(x + 7)}{2(2x + 7)} + \frac x2 = \frac{x(x + 7)}{2x + 7} + 4,5\).
которое сводится к квадратному уравнению:
\(x^2 - 18x - 63 =0\).
При решении уравнения получаем два корня:
\(x_1= 21\) и \(x_2= -2\).
Но отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом. Значит, второй слесарь выполнит все задание за \(21\) ч. Первому слесарю на выполнение задания понадобится на 7 ч больше, чем второму, значит, первый слесарь выполнит все задание за:
\(21 + 7 = 28\) (ч).
Вернуться к содержанию учебника