Вернуться к содержанию учебника
Контрольные вопросы и задания
1) Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
2) Напишите формулу корней квадратного уравнения.
3) Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.
4) Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\)?
5) Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета.
Вспомните:
1) Дискриминантом квадратного уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\) называют выражение \(D=b^{2}-4ac\).
Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта:
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня.
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень.
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
2) Формула корней квадратного уравнения:
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \) при \(D>0\).
\(x =-\frac{b}{2a}\) при \(D=0\).
3) Если коэффициент \(b\) чётный, то есть \(b=2k\), тогда
\(ax^{2}+2kx+c=0\)
\(x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt D_1}{2a},\)
где \(D_1 = k^2 - ac\).
4) Теорема Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Доказательство:
Рассмотрим приведенное квадратное уравнение:
\(x^2 + px + q = 0\).
\(D = b^2 - 4q\).
Если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1}=\frac{-p-\sqrt D}{2} \) и \(x_{2}=\frac{-p+\sqrt D}{2} \).
Найдем сумму корней:
\(x_{1} + x_{2}=\)
\(=\frac{-p-\sqrt D}{2} + \frac{-p+\sqrt D}{2} =\)
\(=\frac{-p-\cancel{\sqrt D}-p+\cancel{\sqrt D}}{2} =\)
\(=\frac{-2p}{2} = -p\).
Найдем произведение корней:
\(x_{1} \cdot x_{2}=\frac{-p-\sqrt D}{2} \cdot \frac{-p+\sqrt D}{2} =\)
\(=\frac{-(p+\sqrt D)}{2} \cdot \frac{-(p-\sqrt D)}{2} =\)
\(=\frac{(p+\sqrt D)(p-\sqrt D)}{4}=\)
\(=\frac{p^2-(\sqrt D)^2}{4}=\frac{p^2-D}{4}=\)
\(=\frac{p^2-(p^2 - 4q)}{4}=\frac{\cancel{p^2}-\cancel{p^2} + 4q}{4}=\)
\(=\frac{4q}{4} = q\).
Итак, \(x_{1} + x_{2}= -p,\) \(x_{1} \cdot x_{2}= q.\)
Теорема доказана.
5) Теорема, обратная теорема Виета:
Если числа \(m\) и \(n\) таковы, что их сумма равна \(-p\), а произведение равно \(q\), то эти числа являются корнями уравнения \(x^2 + px + q = 0\).
Доказательство:
По условию \(m + n = -p\), а \(mn = q\). Значит уравнение \(x^2 + px + q = 0\) можно записать в виде
\(x^2 - (m+n)x + mn = 0\).
Подставив в это уравнение вместо переменной \(x\) число \(m\), получим:
\(m^2 - (m+n)m+mn = \)
\(=m^2 -m^2 - mn + mn = 0\).
Значит, число \(m\) является корнем уравнения.
Теперь подставим в уравнение вместо переменной \(x\) число \(n\), получим:
\(n^2 - (m+n)n+mn =\)
\(=n^2 - mn -n^2 + mn = 0\).
Значит, число \(n\) является корнем уравнения.
Теорема доказана.
Вернуться к содержанию учебника