стр. 96. Контрольные вопросы и задания - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1. Теорема о квадратном корне из произведения:

Если \(a \geqslant0\) и \(b\geqslant0\), то

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\), то есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Доказательство:

Каждое из выражений \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) и \(\sqrt{ab}\) имеет смысл, так как \(a \geqslant0\) и \(b\geqslant0\). Покажем, что выполняется два условия:

1) \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\geqslant0\);

2) \((\sqrt{a}\cdot\sqrt{b})^2 = ab.\)

Так как \(a \geqslant0\) и \(b\geqslant0\), то произведение \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) неотрицательно.

Используя свойство степени произведения, получим:

\((\sqrt{a}\cdot\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2\cdot (\sqrt{b})^2= ab.\)

Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых \(a \geqslant0\) и \(b\geqslant0\) верно равенство:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

Что и требовалось доказать.

2. Теорема о квадратном корне из дроби:

Если \(a \geqslant0\) и \(b>0\), то \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), то есть корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Доказательство:

Каждое из выражений \(\sqrt{\frac{a}{b}}\) и \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) имеет смысл, так как \(a \geqslant0\) и \(b>0\). Покажем, что выполняется два условия:

1) \(\sqrt{\frac{a}{b}} \geqslant 0\);

2) \((\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2=\frac{a}{b}\).

Так как \(a \geqslant0\) и \(\sqrt{b}>0\), то дробь \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) неотрицательна.

Используя свойство возведения дроби в степень, получим:

\( \bigl(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \bigr)^2=\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}=\frac{a}{b}\).

Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых \(a \geqslant0\) и \(b>0\) верно равенство:

\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

Что и требовалось доказать.

3. \(\sqrt{x^2}=|x|\), при любом \(x\).

Доказательство:

1 случай

Если \(x \geqslant0\), то по определению арифметического квадратного корня (\sqrt{x^2}=x\).

2 случай

Если \(x< 0\), то \(-x > 0\), поэтому

(\sqrt{x^2}=\sqrt{(-x)^2}=-x\).

Известно, что \(|x|=x\), если \(x \geqslant0\), и \(|x|=-x\), если \(x < 0\). Значит, при любом \(x\) значение выражения \(\sqrt{x^2}\) совпадает со значением выражения \(|x|\).

Что и требовалось доказать.

4. \(\sqrt{a^12} = \sqrt{(a^6)^2} = |a^6|=a^6\),

так как \(a^6 \geqslant0\) при любом значении \(a\).