Вернуться к содержанию учебника
Постройте график функции \(y = -x^{2} + 2x + 8\) и найдите, используя график:
а) значения функции при \(x = 2{,}5;\; -0{,}5;\; -3\);
б) значения аргумента, при которых \(y = 6;\; 0;\; -2\);
в) нули функции и промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.
Вспомните:
\( y = -x^2 + 2x + 8. \)
\( m = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2\cdot(-1)} = 1, \)
\(n= -(1)^2 + 2\cdot1 + 8 =\)
\(=-1 + 2 + 8 = 9. \)
Вершина параболы: \((1; \,9)\).
\(a=-1<0\) - ветви направлены вниз.
Прямая \(x=2\) - ось симметрии параболы.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | ||||||
| \(y\) | 8 | 9 | 8 |
а) Найдём значения функции
\[ y(2{,}5) = -(2{,}5)^2 + 2\cdot 2{,}5 + 8 = -6{,}25 + 5 + 8 = 6{,}75. \]
\[ y(-0{,}5) = -(-0{,}5)^2 + 2(-0{,}5) + 8 = -0{,}25 - 1 + 8 = 6{,}75. \]
\[ y(-3) = -9 - 6 + 8 = -7. \]
Ответ: \(y(2{,}5)=6{,}75;\; y(-0{,}5)=6{,}75;\; y(-3)=-7.\)
б) Найдём аргументы по значениям функции
1) \(y=6\):
\[ -x^2 + 2x + 8 = 6 \]
\[ -x^2 + 2x + 2 = 0 \]
\[ x^2 - 2x - 2 = 0 \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{1 + 2} = 1 \pm \sqrt{3}. \]
2) \(y=0\):
\[ -x^2 + 2x + 8 = 0 \]
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{1+8} = 1 \pm 3. \]
\[ x=-2,\; x=4. \]
3) \(y=-2\):
\[ -x^2 + 2x + 8 = -2 \]
\[ -x^2 + 2x + 10 = 0 \]
\[ x^2 - 2x - 10 = 0 \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{1+10} = 1 \pm \sqrt{11}. \]
Ответы: при \(y=6\) → \(x=1\pm\sqrt{3}\); при \(y=0\) → \(x=-2;\;4\); при \(y=-2\) → \(x=1\pm\sqrt{11}\).
в) Нули функции и знакопостоянство
Нули функции — решения \(y=0\):
\(x=-2,\;4\).
Знаки:
• при \(x<-2\): \(y<0\); • при \(-2
г) Промежутки возрастания и убывания, множество значений
Так как парабола “вниз”, то:
• возрастает на \((-\infty,\;1)\); • убывает на \((1,\;+\infty)\).
Максимальное значение — значение вершины:
\(y_{\max}=9\).
Множество значений:
\[ (-\infty,\;9]. \]
Пояснения:
— Вершина параболы находится по формуле \(x_0=-\frac{b}{2a}\). — Знак коэффициента \(a\) определяет направление ветвей. — Нули функции ищем как решения квадратного уравнения. — Множество значений параболы, направленной вниз, ограничено сверху максимумом.
Вернуться к содержанию учебника