Упражнение 152 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 59

1. Вершина параболы

\[ y = 2x^2 + 8x + 2. \]

Находим координату вершины:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2\cdot 2} = -2. \]

\[ y_0 = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 8 - 16 + 2 = -6. \]

Вершина: \((-2,\,-6)\). Парабола направлена вверх (так как \(a=2>0\)).

а) Значения функции в точках

\[ y(-2{,}3)=2(-2{,}3)^2+8(-2{,}3)+2 = 2\cdot 5{,}29 - 18{,}4 + 2 = 10{,}58 - 18{,}4 + 2 = -5{,}82. \]

\[ y(-0{,}5)=2(0{,}25)+8(-0{,}5)+2 = 0{,}5 - 4 + 2 = -1{,}5. \]

\[ y(1{,}2)=2(1{,}44)+8(1{,}2)+2 = 2{,}88 + 9{,}6 + 2 = 14{,}48. \]

Ответ: \(-5{,}82;\; -1{,}5;\; 14{,}48.\)

б) Найдём аргументы для заданных значений функции

1) \(y=-4\):

\[ 2x^2 + 8x + 2 = -4 \] \[ 2x^2 + 8x + 6 = 0 \] \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \] \[ x = -1,\; x = -3. \]

2) \(y=-1\):

\[ 2x^2 + 8x + 2 = -1 \] \[ 2x^2 + 8x + 3 = 0 \] \[ D = 64 - 24 = 40 \] \[ x = -\frac{8\pm\sqrt{40}}{4} = -2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}. \]

3) \(y=1{,}7\):

\[ 2x^2 + 8x + 2 = 1{,}7 \] \[ 2x^2 + 8x + 0{,}3 = 0 \] \[ D = 64 - 2{,}4 = 61{,}6 \] \[ x = -2 \pm \frac{\sqrt{61{,}6}}{2}. \]

Ответ: при \(y=-4\): \(x=-1,\,-3\); при \(y=-1\): \(x = -2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}\); при \(y=1{,}7\): \(x = -2 \pm \frac{\sqrt{61{,}6}}{2}.\)

в) Нули функции и знакопостоянство

Нули функции — решения \(y=0\):

\[ 2x^2 + 8x + 2 = 0 \] \[ x^2 + 4x + 1 = 0 \] \[ x = -2 \pm \sqrt{3}. \]

Промежутки знаков:

• \(y>0\) при \(x < -2-\sqrt{3}\) или \(x > -2+\sqrt{3}\); • \(y<0\) при \(-2-\sqrt{3} < x < -2+\sqrt{3}\).

г) Промежутки возрастания, убывания и минимум

Парабола направлена вверх, значит:

• убывает на \((-\infty,\,-2)\); • возрастает на \((-2,\,+\infty)\).

Наименьшее значение — в вершине:

\[ y_{\min} = -6. \]

Пояснения:

— Вершина находится по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). — Знак коэффициента \(a\) указывает направление ветвей. — Для поиска аргументов решаются квадратные уравнения. — Множество значений параболы, направленной вверх, ограничено снизу минимумом.