Упражнение 665 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 185

а) \(a_n=2n+1\)

\(a_1=2\cdot1+1 = 2 + 1=3\)

Последовательность является арифметической так как:

\(d=a_{n}-a_{n-1}=\)

\( =(2n+1)-(2(n-1)+1)=\)

\(=2n + 1 - (2n - 2 + 1) = \)

\(=2n + 1 - (2n - 1) = \)

\(=\cancel{2n} + 1 - \cancel{2n} + 1 = 2\) - не зависит от \(n\).

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\)

\(=\dfrac{3+2n+1}{2}\cdot n=\)

\(=\dfrac{2n+4}{2}\cdot n=\dfrac{\cancel2(n+2)}{\cancel2}\cdot n=\)

\(=(n + 2)\cdot n = n^2 + 2n\).

Ответ: \(S_n=n^2+2n\).

б) \(a_n=3-n\)

\(a_1=3-1=2\)

Последовательность является арифметической так как:

\(d=a_n-a_{n-1}=\)

\(=(3-n)-(3-(n-1))=\)

\(=3 - n - (3 - n + 1)=\)

\(=3 - n - (4 + n) = \)

\(=3 - \cancel n - 4 - \cancel n =-1\) - не зависит от \(n\).

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\)

\( = \dfrac{2+3-n}{2}\cdot n=\)

\( = \dfrac{5-n}{2}\cdot n= \dfrac{(5-n)n}{2}=\)

\(=\dfrac{5n-n^2}{2}\).

Ответ: \(S_n=\dfrac{5n-n^2}{2}\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Если разность соседних членов постоянна, то последовательность является арифметической.

2) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\).

а) Пояснение.

Последовательность \(a_n=2n+1\) имеет постоянную разность \(d=2\), значит, это арифметическая прогрессия. Подставляя первый и \(n\)-й члены в формулу суммы, получаем \(S_n=n^2+2n\).

б) Пояснение.

Последовательность \(a_n=3-n\) имеет постоянную разность \(d=-1\), значит, это арифметическая прогрессия. Подставляя первый и \(n\)-й члены в формулу суммы, получаем \(S_n=\dfrac{5n-n^2}{2}\).